(2009/10/27)
考題下載: 第二次小考題目下載
請同學思考:
函數 f 在點 a 是連續的, 所代表的意義是什麼?
函數 f 在點 a 的值 與 函數 f 在點 a 的極限值之間的差異是什麼?
2009年10月20日 星期二
2009年10月19日 星期一
Week 06: 小考 & 函數的連續性
(2009/10/20)
注意:
本週第一堂課舉行本學期第一次小考, 同學請勿遲到, 遲到 15 分鐘者, 不得進入試場。
課堂討論主題:
1. 函數在某一點上連續的定義為何?
2. 連續性的定義隱含了哪些重要的性質?
3. 連續函數有什麼好處呢? 跟微積分課程有什麼相關性呢?
4. 如何證明函數在某一點是不連續的?
5. 什麼是左連續? 什麼是右連續?
6. "在某個區間中是連續的" 這句話的意義是什麼?
7. 課本 § 1-5 為什麼要提連續性? 連續性有什麼重要性?
注意:
本週第一堂課舉行本學期第一次小考, 同學請勿遲到, 遲到 15 分鐘者, 不得進入試場。
課堂討論主題:
1. 函數在某一點上連續的定義為何?
2. 連續性的定義隱含了哪些重要的性質?
3. 連續函數有什麼好處呢? 跟微積分課程有什麼相關性呢?
4. 如何證明函數在某一點是不連續的?
5. 什麼是左連續? 什麼是右連續?
6. "在某個區間中是連續的" 這句話的意義是什麼?
7. 課本 § 1-5 為什麼要提連續性? 連續性有什麼重要性?
2009年10月12日 星期一
Week 05: 極限的運算
(2009/10/13)
課堂討論主題:
1. 極限法則 (就是關於加減乘除上的法則, 要先搞清楚前提是否成立)
a. 極限的和 等於 和的極限 (加法律)
b. 極限的差 等於 差的極限 (減法律)
c. 極限乘常數 等於 常數乘函數後的極限 (常倍數定律)
d. 極限的乘積 等於 乘積後的極限 (乘法律)
e. 極限的商 等於 商的極限 (除法律)
f. (冪定律) 冪定律可以視為乘法律的特殊情況, 當 f = g 的情況。
2. 課本 p.1-38, 範例 1
範例 2
3. 直接代入法則:
若 f 是一個多項式或有理函數而且 a 在 f 的定義域內,
則函數 f 在 x->a 的極限值為 f(a)。
以上法則也適用於求三角函數的極限。
4. 課本 p.1-39,
5. 課本 p.1-40,
如果函數 f 與 g 在 x -> a 的極限值都存在, 而且在 x ≠ a 時, f(x) = g(x),
則
6. 請比較課本 p.1-40 範例 2 與 範例 3 之間的 差別 ?
7. 如何證明函數的極限值不存在? ( 課本 p.1-42, 定理 2 )
8. 課本 p.1-42, 定理 3
9. 課本 p.1-42, 夾擊定理 (Squeeze Theorem)
請同學思考夾擊定理的使用時機 !!
課堂討論主題:
1. 極限法則 (就是關於加減乘除上的法則, 要先搞清楚前提是否成立)
a. 極限的和 等於 和的極限 (加法律)
b. 極限的差 等於 差的極限 (減法律)
c. 極限乘常數 等於 常數乘函數後的極限 (常倍數定律)
d. 極限的乘積 等於 乘積後的極限 (乘法律)
e. 極限的商 等於 商的極限 (除法律)
f. (冪定律) 冪定律可以視為乘法律的特殊情況, 當 f = g 的情況。
2. 課本 p.1-38, 範例 1
範例 2
3. 直接代入法則:
若 f 是一個多項式或有理函數而且 a 在 f 的定義域內,
則函數 f 在 x->a 的極限值為 f(a)。
以上法則也適用於求三角函數的極限。
4. 課本 p.1-39,
5. 課本 p.1-40,
如果函數 f 與 g 在 x -> a 的極限值都存在, 而且在 x ≠ a 時, f(x) = g(x),
則
6. 請比較課本 p.1-40 範例 2 與 範例 3 之間的 差別 ?
7. 如何證明函數的極限值不存在? ( 課本 p.1-42, 定理 2 )
8. 課本 p.1-42, 定理 3
9. 課本 p.1-42, 夾擊定理 (Squeeze Theorem)
請同學思考夾擊定理的使用時機 !!
2009年9月30日 星期三
Week 04: 極限的各種定義
News: 鎖定知識搜尋 Wolfram Alpha 下周現身
(iThome Online 文 陳曉莉 編譯 2009-05-12 原始文章連結)
Wolfram Alpha 與眾不同之處包括它所搜尋的是由專家建立的知識庫，而非網頁。
曾在十五歲發表粒子物理學研究論文的科學神童 Stephen Wolfram 繼創立知名的 Mathematica 計算機代數系統後，也涉足了搜尋引擎市場，利用數學公式及其邏輯打造了新一代的知識搜尋引擎─ Wolfram Alpha，並即將於下周問世。
Wolfram Alpha與眾不同之處包括它所搜尋的是由專家建立的知識庫，而非網頁；此外，它不像一般的人工智慧系統主要去理解查詢字串的意義，而是結合所取得的知識以及數學邏輯以運算出使用所需的答案。
當使用者輸入查詢字串後，系統會先判斷該問題屬於何種知識領域，繼之運算出結果。例如，它可以回答有多少諾貝爾獎得主是在滿月時出生的，這是分析所有得獎者的生日計算而找出的，若利用一般搜尋引擎，除非有使用者曾經整理過這樣的資訊，否則並無法找到結果。
目前 Wolfram Alpha 仍有許多需要改善的地方，包括持續擴大知識庫，以及讓系統更能理解查詢語意等。
現年四十九歲的 Wolfram 指出，要讓電腦理解人類自然語言是很困難的，因此他讓知識可被運算，所需的就是把使用者詢問的自然語言轉成可被運算的精確格式；此外，Wolfram Alpha 是利用他所開發的 Mathematica 系統以及新科學（A New Kind of Science，NKS）理論，採用明確的資料與程式所打造的。
Wolfram Alpha 受到各界矚目的原因之一在於 Wolfram 為知名的科學神童，他在十五歲發表粒子物理論文，二十歲取得加州理工學院物理博士，曾擔任伊利諾斯大學物理學、數學及電腦科學教授，二十七歲離開學術界自行創立 Wolfram Research，開發及銷售 Mathematica 數學軟體。Wolfram 在 2002 年發表的新科學一書中，透過細胞自動機電腦模擬程式來表達各種現象皆可利用簡單的程式來產生複雜性的概念，此一新的理論頗具爭議，但 Wolfram 則視它為另一場科學革命。
雖然各家搜尋引擎業者都在鑽研人工智慧及自然語言搜尋技術，但 Wolfram 並不認為 Wolfram Alpha 是 Google 的競爭對手，因為兩者所專注的搜尋領域不同，同時未來可望與各家搜尋引擎業者合作。
Wolfram Alpha 與眾不同之處包括它所搜尋的是由專家建立的知識庫，而非網頁。
曾在十五歲發表粒子物理學研究論文的科學神童 Stephen Wolfram 繼創立知名的 Mathematica 計算機代數系統後，也涉足了搜尋引擎市場，利用數學公式及其邏輯打造了新一代的知識搜尋引擎─ Wolfram Alpha，並即將於下周問世。
Wolfram Alpha與眾不同之處包括它所搜尋的是由專家建立的知識庫，而非網頁；此外，它不像一般的人工智慧系統主要去理解查詢字串的意義，而是結合所取得的知識以及數學邏輯以運算出使用所需的答案。
當使用者輸入查詢字串後，系統會先判斷該問題屬於何種知識領域，繼之運算出結果。例如，它可以回答有多少諾貝爾獎得主是在滿月時出生的，這是分析所有得獎者的生日計算而找出的，若利用一般搜尋引擎，除非有使用者曾經整理過這樣的資訊，否則並無法找到結果。
目前 Wolfram Alpha 仍有許多需要改善的地方，包括持續擴大知識庫，以及讓系統更能理解查詢語意等。
現年四十九歲的 Wolfram 指出，要讓電腦理解人類自然語言是很困難的，因此他讓知識可被運算，所需的就是把使用者詢問的自然語言轉成可被運算的精確格式；此外，Wolfram Alpha 是利用他所開發的 Mathematica 系統以及新科學（A New Kind of Science，NKS）理論，採用明確的資料與程式所打造的。
Wolfram Alpha 受到各界矚目的原因之一在於 Wolfram 為知名的科學神童，他在十五歲發表粒子物理論文，二十歲取得加州理工學院物理博士，曾擔任伊利諾斯大學物理學、數學及電腦科學教授，二十七歲離開學術界自行創立 Wolfram Research，開發及銷售 Mathematica 數學軟體。Wolfram 在 2002 年發表的新科學一書中，透過細胞自動機電腦模擬程式來表達各種現象皆可利用簡單的程式來產生複雜性的概念，此一新的理論頗具爭議，但 Wolfram 則視它為另一場科學革命。
雖然各家搜尋引擎業者都在鑽研人工智慧及自然語言搜尋技術，但 Wolfram 並不認為 Wolfram Alpha 是 Google 的競爭對手，因為兩者所專注的搜尋領域不同，同時未來可望與各家搜尋引擎業者合作。
News: 新世代搜尋網站 挑戰 Google 霸業
(中時電子報 2009/05/11 記者 黃文正 綜合報導)
網路搜尋引擎巨擘 Google 的霸主地位，正面臨新一波挑戰。英國數學家史蒂芬．沃爾弗拉姆（Stephen Wolfram）將於十五日發表一款新開發的搜尋軟體，可針對提問準確回答更實用的答案，而非僅是呈現一堆相關網頁。IBM 也宣布，正在研發一種足可參加益智節目「Jeopardy！」、與人類同台競技的超級電腦。此外，微軟也計畫發表新功能的搜尋軟體，內容仍為高度機密。
兩百億商機 企業垂涎爭食
美國《商業周刊》指出，眾多企業爭相投入網路搜尋領域，除了垂涎 Google 高達兩百億美元的營收外，主要也是看到網路搜尋技術尚有改進的空間。
然而想當「Google 殺手」絕非易事，「Search Engine Land」網站總編輯蘇利文說：「要改變網友操作 Google 的習性，勢必是一大挑戰，不過 Google 確實有許多方面未努力經營，所以應該還有一些另類發展空間。」
最具企圖心的，無疑是沃爾弗拉姆研發的搜尋軟體「Wolfram Alpha」，他雇用兩百五十名員工，自政府和其他公共資料庫快速揀選過濾出實用的資料或數據，讓每個人都可擁有「專業水準級」的資訊。例如，使用者若搜尋「紐約、東京」，便可獲得兩個城市的人口、地圖或兩個城市的飛行時程等資料。
人性化回答 非僅連結網站
沃爾弗拉姆說，使用傳統搜尋引擎時，通常只會得到「這些是你想搜尋的相關網頁」，「但我們希望直接回答人們的詢問。」不過，這款軟體並非全功能型的搜尋工具，許多日常生活的問題，譬如敲下「芝加哥餐廳」，得到的資訊可能沒幾個，甚至完全闕如。
不少競爭者都瞄準 Google 尚未征服的新領域。例如讓使用者張貼短訊的 Twitter 微網誌，最近也增加貼文搜尋功能。相較 Google 必須花數小時甚至幾日才能更新網頁，Twitter 在眾多網友協助，搜尋即時性更勝一籌。
微軟誌拚時效 掀創意革命
Aardvark 公司想到「朋友」的點子，雇用各領域專業人士當大家「朋友」，使用者可針對個別問題，透過自己的社交聯絡清單，以即時通和電子郵件提出問題，例如，問哪裡可買越野單車？立即有專家「朋友」為你解惑。過去五年，微軟皆無法撼動 Google 老大地位。它春末預定發表的新搜尋軟體，可能聚焦於提供使用者更多可用工具和網頁，例如上網預訂出差城市的旅館。微軟線上客戶商業部門資深副總裁梅迪說：「使用者是在搜尋洞察力和知識，而非單單連結一些網站讓人瀏覽。」
這麼多同業虎視眈眈，Google 當然不會坐以待斃。除了原本的相關搜尋網頁連結之外，也增添照片、地圖或其他資訊的搜尋服務。Google 核心搜尋引擎部門副總裁曼伯說：「未來幾年肯定會出現更棒、更新的創意，我們最好未雨綢繆。」
2009年9月29日 星期二
Week 03: 函數的極限
(2009/09/29)
課堂討論主題:
1. 除了對稱性質, 函數還有哪些性質?
2. 遞增, 遞減函數給你甚麼感覺? 有沒有甚麼生活上的例子?
3. 遞增, 遞減函數的數學上的定義怎麼推導出來的?
4. 什麼是極限?
本週指定自行閱讀部分: (同學務必要閱讀)
§1.2 常用基本函數概述
a. 數學模型
b. 線性模型(線性函數, linear function): y = f(x) = mx + b
c. 多項式
d. 冪函數
e. 有理函數(rational function)
f. 三角函數
g. 函數的變換
i. 函數的組合
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課堂討論主題:
1. 除了對稱性質, 函數還有哪些性質?
2. 遞增, 遞減函數給你甚麼感覺? 有沒有甚麼生活上的例子?
3. 遞增, 遞減函數的數學上的定義怎麼推導出來的?
4. 什麼是極限?
本週指定自行閱讀部分: (同學務必要閱讀)
§1.2 常用基本函數概述
a. 數學模型
b. 線性模型(線性函數, linear function): y = f(x) = mx + b
c. 多項式
d. 冪函數
e. 有理函數(rational function)
f. 三角函數
g. 函數的變換
i. 函數的組合
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