Week 17: 極大值和極小值

平時成績

§ 3-1 極大和極小值

微積分最重要的應用之一是 最佳化問題。

1. 同樣的容量, 可以得到最低成本的罐頭形狀是什麼?

2. 什麼是太空船的最大加速度?

3. 人在咳嗽時, 可以將空氣從體內以最快的速度釋放出來的氣管大小是多少?

4. 當你在藝廊參觀時, 要站在離畫多遠處才可以得到最好的觀賞視野?

定義

如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x),
我們就說 f 在 c 處有 絕對極大值(absolute maximum) 或 全域極大值(global maximum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極大值 (maximum value)。

同樣的, 如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x),
就說 f 在 c 處有 絕對極小值(absolute minimum) 或 全域極小值(global minimum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極小值(minimum value)。

上述的最大和最小值稱為 f 的 極值(extreme values)。



定義

如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x)
[ 也就是說在某一包含 c 的開區間中的 x 都滿足 f(c) ≧ f (x) ],
我們就說 f 在 c 點有區域極大值(local maximum) 或 相對極大值(relative maximum)。

同樣的, 如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x)，就說 f 在 c 點有 區域極小值(local minimum)。







極值定理

如果函數 f 在一閉區間 [a, b] 中連續, 則在 [a, b] 中一定存在二個值 c 和 d 使得 f (c) 是絕對極大值而 f (d) 是絕對極小值。




　

　


費馬定理

如果 f 在 c 點有區域極值而且 f '(c) 存在, 則 f '(c) = 0





定義

如果函數 f 在 c 的導數 f ’ (c)=0 或 f ’ (c)不存在,
我們就稱 c 是 f 的一個 臨界點(critical point)。



若 f 在 c 點有區域極值，則 c 是 f 的一個臨界點。

閉區間法

如果想要求出連續函數 f 在閉區間 [a, b] 絕對極值, 可以依下列步驟:
1. 求 f 在 (a, b) 的臨界點上的函數值。
2. 求 f 在端點的值。
3. 步驟 1 和 2 得到的值中，最大的就是絕對極大值; 最小的就是絕對極小值。

Week 16: 線性近似與微分算子

1. 課程公告: 期末考範圍 Ch2 ~ Ch3-1。

2. 本週第一節課舉行小考, 範圍 § 2-1 ~ 7

3. § 2-8 線性近似與微分算子

從標題看, §2-8 有兩個主題要討論: 線性近似與微分算子。

　a. 線性近似

所謂的 線性近似 指的就是當我們要求一個函數在某一點附近的函數值的時候, 有些時候直接代入即可, 有些時候卻不是那麼容易計算出來, 因此, 我們思考: 是否可以在那個點的附近找到一個新的函數, 這個函數和我們要求的函數很像, 很接近, 如果可以找到這樣的函數, 我們直接求這個函數在該點附近的函數值, 應該也是八九不離十啦。



這是 § 2-1 的圖 4, 從這個圖中, 我們的觀察有一個結論: ( 是什麼呢?? )

其實, 上圖中的直線, 其實就是我們要找的新函數, 換句話說, 這個直線就是原先的函數在 x = 1 附近的近似函數。( 這條直線是什麼線呢 ? )



這條直線的方程式該如何求呢?
(提示: 如果你會求這條直線的斜率, 也知道這條直線通過哪一點, 應該就可以求出其方程式了。)

　b. 微分元 (differential)

線性近似背後的內在意義有時可以用 微分元 的概念描述。

若 y = f(x)，其中 f 是可微函數，則存在一個稱為 微分元 (differential) 的 自變數 dx ;
也就是說 dx 可以是任意給定的實數。而另一個微分元 dy 則是由 dx 所決定:

　　　dy = f '(x) dx

所以 dy 是一個 應變數；它是由 x 和 dx 所決定的。
若 dx 和 x 的值都給定了，dy 的值也就自然被決定了。

從圖 5 中, 我們可以觀察到微分元的幾何意義。
令 P(x, f(x)) 和 Q(x + ∆x, f (x + ∆x)) 位於 f 的圖形上並且取 dx = ∆x 。
相對應的 y 的變化量為 ∆y = f(x + ∆x) – f(x)



由圖 5 很容易看出, 在 Δx 越小時, 線性近似值 Δy 會越接近 dy 值。
　

Week 15: 相對變化率

1. 課程公告: 下週二第一節課舉行小考, 範圍 § 2-1 ~ § 2-8。

2. 本週進度:

§ 2-7 相對變化率

如果我們將一氣球充氣，它的體積和半徑都會增加，而它們的增加率之間互有關聯。實際上體積的增加率會比半徑的增加率容易求得。

在牽涉到相對變化率的問題中，通常是想要利用某個量的變化率來求出另一個量的變化率 (有可能容易算很多)。

作法是先找到描述二個量之關係的方程式，然後利用 連鎖法則 將方程式的等號二邊都對 時間 作微分。

例 1 : 將一圓形氣球以每秒100立方公分的速度充氣。氣球在直徑為50公分時半徑增加的速度為何？

我們先寫出下列條件：

　　已知：氣球內空氣體積的增加率為 100 立方公分/秒
　　未知：半徑在氣球直徑為 50 公分時的增加率

為了要用數學來描述這個問題，我們必須要引入一些變數：

　令 V 為氣球的體積，而 r 是氣球的半徑

關鍵在於 變化率 其實就是 導數。

在這個問題中，體積和半徑都是時間 t 的函數。

體積相對於時間的變化率為 dV/dt，而半徑相對於時間的變化率為 dr/dt。

所以我們可以把上述的條件重寫成：

　　已知： dV/dt = 100 立方公分/秒
　　未知：當 r = 25 公分時的 dr/dt

為了找到 dV/dt和 dr/dt 之間的關係，我們首先用球體的體積公式將 V 和 r 關聯在一起:

　　V = ( 4 /3 ) π r^3

將方程式的等號二邊同時對 t 微分，這樣就能利用已知的條件。

微分的過程需要用到連鎖法則: (Why? 請同學思考)

　dV/dt = dV/dr * dr/dt = 4 π r^2 dr/dt

接著解出未知的量:

　dr/dt = ( 1/4πr^2 ) * dV/dt

如果將 r = 25 和 dV/dt = 100 代入方程式內就會得到

　dr/dt = ( 1/ 4 π 25^2 ) * 100 = 1/ 25π

所以氣球半徑的增加率為 1/25π 公分/秒。

Week 14: 隱函數的微分

在此之前, 我們所處理的函數都是可以把其中一個變數, 清楚地用另一個變數來表示, 例如:

　　y = x sinx

然而, 有些函數是被包含 x 和 y 的方程式隱含地定義出來的。例如:

　　x^2 + y^2 = 25



上述的式子中隱含地表示了兩個函數, 分別是 Fig. 1 (b) 的上半圓 f(x) 和 Fig. 1 (c) 的下半圓 g(x)。

課本的另外一個例子:

　　x^3 + y^3 = 6xy


　
其實, 在這個圖形中, 分別隱含地表示了三個函數, 分別如 Fig. 3 所表示。


　
本節 § 2-6 隱微分 所要討論的主題就是該如何求得這類隱函數的導函數。

例 1: (p. 2-51)
　　(a) 若 x^2 + y^2 = 25 , 求 dy/dx。
　　(b) 求圓 x^2 + y^2 = 25 在點 ( 3, 4 ) 的切線方程式。

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。
　　　(2) 要把 y 看做是 x 的函數, 因此, 對 y 微分時, 必須要用連鎖法則才行。

　其實, 也可以用 § 2-1 的方法, 先確定 點 ( 3, 4) 是屬於上述兩個隱含的函數中的哪一個? 再用所屬的那個函數去求導函數(會用到 § 2-5 的連鎖法則) , 一樣可以求出其切線方程式, 答案都是一樣的。 (廢話!)

例 2: (p. 2-52)
　　(a) 已知 x^3 + y^3 = 6xy, 求 y'。
　　(b) 求笛卡兒葉形線 x^3 + y^3 = 6xy 在點 ( 3, 3 ) 的切線方程式。
　　(c) 在第一象限中的哪一點有水平切線 ?

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。
　　　(2) 要把 y 看做是 x 的函數, 因此, 對 y 微分時, 必須要用連鎖法則才行。
　　　(3) 等式右邊的 xy 要用到乘法律。
　

　
　
　
例 3: (p. 2-53)
　　已知 , 求 y'。

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。

　注意: 對左式微分要用到連鎖法則,
　
　　　F(x) = f。g (x) = f (g(x)) = sin (x+y)

　所以,
　　　　f (x) = sin (x),　f ' (x) = cos(x)
　　　　g(x) = x+y, 　　g ' (x) = 1 + 1 * y'

　　　　F ' (x) = cos (x+y) * g'(x) = cos (x+y) * (1+y')

　　　對右式微分要用到乘法律和連鎖法則,

　　　G(x) = y^2 cos x
　
　　　G '(x) = 2yy' cos x + y^2 (-sin x)
　
　因此, cos (x+y) * (1+y') = 2yy' cos x + y^2 (-sin x)

　移項,

　　cos (x+y) + y^2 sin x = (2y cos x) y' - cos(x+y) y'

　所以,

　　y' = ( cos (x+y) + y^2 sin x ) / ( 2y cos x - cos(x+y) )

　　
　


例 4: (p. 2-53)
　　已知 x^4 + y^4 = 16, 求 y" = ?
　

　

Week 11: 期中考檢討與作業

1. 第一節課: 發考卷與期中考題釋疑。

2. 第二節課: 請同學用 A4 紙寫下自己的期中考試檢討報告, 當場交卷。算一次作業成績!
　a. 請分析自己為什麼考得不錯, 或是為什麼考不好?
　b. 這次的考試哪個部份自己沒考好? 原因是什麼?
　c. 對自己未來一個半月的時間, 該如何增進自己的微積分程度?
　d. 對這次試題的想法?
　e. 對課程的建議:

3. 第三節課: § 2-3 微分基本公式
　a. 常數函數的導數
　b. 冪函數與導數的次方律(n 為正整數)
　c. 導數的次方律(n 為任意實數)
　　請同學思考: 有次方律的好處是什麼 ? (定義與定理之間的差別?)
　
4. 作業 (1):
　請將期中考題重做一次, 將 標準答案 寫在 A4 紙上,
　於 11/24 下午實習課下課前交給助教, 算一次作業成績。

Week 10: 期中考

　
時間: 2009/11/18
範圍: § 1-1 ~ § 2-2
題目: 期中考卷下載
　
成績分布:

　重修同學部分: 17 位 !

　　80 ~ 89 分　2 人
　　70 ~ 79 分　4 人
　　60 ~ 69 分　5 人
　　50 ~ 59 分　1 人
　　40 ~ 49 分　2 人
　　30 ~ 39 分　1 人
　　20 ~ 29 分　2 人

　　平均分數: 60.94 分
　　
　大一原班同學部分: 51 位, 缺考 1 位 !

　　80 ~ 89 分　2 人
　　70 ~ 79 分　6 人
　　60 ~ 69 分　3 人
　　50 ~ 59 分　7 人
　　40 ~ 49 分　7 人
　　30 ~ 39 分　10 人
　　20 ~ 29 分　8 人
　　10 ~ 19 分　5 人
　　 0 ~ 9 分　　3 人
　
　　平均分數: 41.96 分

　合併統計: 68 位, 缺考 1 位 !

　　80 ~ 89 分　4 人
　　70 ~ 79 分　10 人
　　60 ~ 69 分　8 人
　　50 ~ 59 分　8 人
　　40 ~ 49 分　9 人
　　30 ~ 39 分　11 人
　　20 ~ 29 分　10 人
　　10 ~ 19 分　5 人
　　 0 ~ 9 分　　3 人
　
　　平均分數: 46.71 分
　

Week 08: § 1-6 無限的極限概念

(2009/11/03)

§ 1-6 無限的極限概念

1. 什麼是無窮極限? 定義是什麼?

　　f(x) 在 x 趨近於 a 時的極限是無限大

　　
　
　　
　
2. 注意: ∞ 並不是一個數, 極限值等於 ∞ 並不代表極限存在!

3. 垂直漸進線 (vertical asymptote )

4. 什麼是 "無窮遠處的極限" ?

　　　
　
5. 定義:
　　假設函數 f 在區間 (a, ∞) 有定義,
　　而且當 x 取足夠大時, f(x) 都會很靠近 L,
　　我們就說 f 有極限
　　lim f(x) = L, as x → ∞
　
6. 水平漸進線 (horizontal asymptote )
　
7. § 1-4 中的 極限法則, 如果把敘述 "x → a" 改為 "x → ∞" 或 "x → -∞" , 還會繼續成立嗎?

　　
　
8. 包含無窮概念之極限的正式定義

Chapter 2 導數 Derivatives

§ 2-1 導數和變化率

1. 導數是一種特別的極限,
　可以用來求曲線的切線斜率和求一物體的速度!

2. 切線問題:
　一條曲線的切線就表示會和這曲線相接觸的一條直線。
　換句話說, 切線和該曲線在接觸的那點有相同的方向。

　

　歐幾里德(Euclid): 切線就是一條和圓恰好相交於一點的直線。

A tangent is a line that intersects the circle once and only once.

　　　　　
　
　例 1 : 試求拋物線
　　　　　
　　　　在點 P (1, 1) 的切線方程式。
　
　　

　上圖中, 割線 PQ 的斜率為何?

　　
　
　觀察上圖可知, 當 Q 越來越接近 P, 割線 PQ 也會越來越像切線 T。
　
　由此看來, 當 x 趨近於 1 時, 割線斜率的極限 就是 切線的斜率。
　
3. 有時候, 我們也把曲線在某一點的切線斜率, 就稱做是曲線在這點的斜率。
　理由是...

　　

4. 如果 C 是由函數 y = f(x) 定義的曲線, 而我們想要求 C 在點 P ( a, f(a) ) 的切線方程式,
　方法是...

　　
　
5. 定義:

　　

Week 07: 小考(2)

(2009/10/27)

考題下載: 第二次小考題目下載

請同學思考:
　　函數 f 在點 a 是連續的, 所代表的意義是什麼?
　　函數 f 在點 a 的值 與 函數 f 在點 a 的極限值之間的差異是什麼?

Week 06: 小考 & 函數的連續性

(2009/10/20)

注意:

本週第一堂課舉行本學期第一次小考, 同學請勿遲到, 遲到 15 分鐘者, 不得進入試場。

課堂討論主題:

1. 函數在某一點上連續的定義為何?

2. 連續性的定義隱含了哪些重要的性質?

3. 連續函數有什麼好處呢? 跟微積分課程有什麼相關性呢?

4. 如何證明函數在某一點是不連續的?

5. 什麼是左連續? 什麼是右連續?

6. "在某個區間中是連續的" 這句話的意義是什麼?

7. 課本 § 1-5 為什麼要提連續性? 連續性有什麼重要性?
　
　

Week 05: 極限的運算

(2009/10/13)

課堂討論主題:
1. 極限法則 (就是關於加減乘除上的法則, 要先搞清楚前提是否成立)
　a. 極限的和 等於 和的極限 (加法律)
　b. 極限的差 等於 差的極限 (減法律)
　c. 極限乘常數 等於 常數乘函數後的極限 (常倍數定律)
　d. 極限的乘積 等於 乘積後的極限 (乘法律)
　e. 極限的商 等於 商的極限 (除法律)
　f. (冪定律) 冪定律可以視為乘法律的特殊情況, 當 f = g 的情況。

2. 課本 p.1-38, 範例 1

　
　
　 範例 2

　

3. 直接代入法則:
　若 f 是一個多項式或有理函數而且 a 在 f 的定義域內,
　則函數 f 在 x->a 的極限值為 f(a)。

　以上法則也適用於求三角函數的極限。

　　

　　

　　
　
4. 課本 p.1-39,

　　

　　　

5. 課本 p.1-40,
　如果函數 f 與 g 在 x -> a 的極限值都存在, 而且在 x ≠ a 時, f(x) = g(x),
　則
　　　　

6. 請比較課本 p.1-40 範例 2 與 範例 3 之間的 差別 ?

7. 如何證明函數的極限值不存在? ( 課本 p.1-42, 定理 2 )
　
8. 課本 p.1-42, 定理 3

9. 課本 p.1-42, 夾擊定理 (Squeeze Theorem)

　
　請同學思考夾擊定理的使用時機 !!