Week 6: 無限的極限概念

1. § 1-6 無限的極限概念

習題: 1, 9, 12, 14, 21 (2010/10/26 實習課繳交)

§ 1-5 函數的連續性

　
　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　
　

§ 1-6 無限的極限概念

這一節研究的是函數整體上的行為(global behavior of functions), 特別是水平和垂直漸近線的存在問題。

無窮極限
無窮遠處的極限
無窮遠處的無窮極限
*包含無窮概念之極限的正式定義 (略)


無窮極限

　

　這裡並不表示我們把 ∞ 視為是一個數, 也不表示極限是存在的。我們只是用一個特別的方式表示以下的現象: 只要 x 夠靠近 0, 1/x² 就會變任意大。

　　

　定義 (課本 p. 1-59)

　　
　　
　　表示當 x 取到夠接近, 但是不等於 a 時, 函數值 f(x) 會變的任意大。

　　

　　垂直漸近線

　　

　　

例 1 :

　　

例 2 :

　　

無窮遠處的極限

　　

　　

　　

　　

　　

　　

無窮遠處的無窮極限

Week 5: 函數的連續性與無限的極限概念

1. § 1-5 函數的連續性

　習題: 1, 4, 15, 20, 23 (2010/10/19 實習課繳交)

2. § 1-6 無限的極限概念

3. 第一次小考
　時間: 10/26 實習課 (Week 7)
　範圍: 第一章全部

4. 期中考範圍公布
　Chapter 1: all section
　Chapter 2: § 2-1 ~ § 2-4

Week 4: 極限的運算與函數的連續性

1. § 1-4 極限的運算

　習題: 2, 3, 6, 14 ,24 ( 繳交日期為 10/12 實習課 )

2. § 1-5 函數的連續性
　

Week 3: 函數的極限與運算

1. § 1-3 函數的極限

　　習題: 1, 3, 4, 5 ,11 ( 繳交日期為 10/12 實習課 )

2. § 1-4 極限的運算

　　教到 直接代入法則。

3. 第二本指定閱讀書籍: 愛上數學

　　　

　　心得上傳截止時間: 2010/11/3 24:00

§ 1-4 極限的運算

1. 極限法則 (就是關於加減乘除上的法則, 要先搞清楚前提是否成立)
　a. 極限的和 等於 和的極限 (加法律)
　b. 極限的差 等於 差的極限 (減法律)
　c. 極限乘常數 等於 常數乘函數後的極限 (常倍數定律)
　d. 極限的乘積 等於 乘積後的極限 (乘法律)
　e. 極限的商 等於 商的極限 (除法律)
　f. (冪定律) 冪定律可以視為乘法律的特殊情況, 當 f = g 的情況。

2. 課本 p.1-38, 範例 1

　
　
　 範例 2

　

3. 直接代入法則:
　若 f 是一個多項式或有理函數而且 a 在 f 的定義域內,
　則函數 f 在 x->a 的極限值為 f(a)。

　同學們可以回顧 例 1 , (a) 即為多項式函數, (b) 為有理函數。
　因此, 用直接代入法則即可求出答案。

　以上法則也適用於求三角函數的極限。

　　

　　

　　
　
4. 課本 p.1-39,

　　

　　　

5. 課本 p.1-40,
　如果函數 f 與 g 在 x -> a 的極限值都存在, 而且在 x ≠ a 時, f(x) = g(x),
　則
　　　　

6. 請比較課本 p.1-40 範例 2 與 範例 3 之間的 差別 ?

7. 如何證明函數的極限值不存在? ( 課本 p.1-42, 定理 2 )
　
8. 課本 p.1-42, 定理 3

9. 課本 p.1-42, 夾擊定理 (Squeeze Theorem)

　
　請同學思考夾擊定理的使用時機 !!
　

§ 1-3 函數的極限

1. 關於函數在某個點的極限值, 我們有興趣的是函數在那個點附近的行為, 而不是函數在那個點上的函數值為何? 甚至, 函數並不需要在那個點上有定義。

2. 課本 p.1-28, 範例 3

　　
　
　課本 p.1-29, 範例 4

　　
　
3. 極限直觀上的定義 (p. 1-27) 與精確定義 (p. 1-33) 的差異在哪邊?

4. 單邊極限的定義與極限值存在之間的關係為何?