§ 3-4 函數圖形的描繪

例題 4 的思考:

　　直接用機器畫函數圖形的缺點是什麼?

　　畫大範圍的圖形時, 有些小地方(細節) 會被機器忽略掉, 而沒有畫出來。導致可能在某些情況下, 如果直接觀察機器所畫出的圖形, 就會有誤解。因此, 必需用微分去進一步分析、確認函數圖形的性質, 才可確保不會出錯。

Week 15: 導數和函數圖形的描繪

1. § 3-3 導數和導函數的圖形

　　習題: 1, 8, 9, 10, 17

2. § 3-4 函數圖形的描繪

　　習題: 1, 7, 14, 16, 19

Errata: Stewart 中譯本勘誤

Stewart中文本錯誤的部份如下:
page 2-2 Line 10, 另一方面, L 看起來... --> 應該是: T 看起來,...
page 2-8 Line 10, 例5 解: f'(3) = 2(3)-8 = -12 --> 應該是: 2(3)-8 = -2
page 2-25 Line 14, 在 3.3 節, 我們會證明...--> 應該是: 在 5.4 節, 我們會證明
page 2-57 Line 16, V 和 h 的關係為 0 ...--> 應該是: V 和 h 的關係為 (把0刪去)
page 3-14, Sec. 3-2 引理 7 ... 滿足條件 f'(x) - g'(x) , 應該修正為 f'(x) = g'(x)
page 3-26, Sec. 3-4 凹性和反曲點 反曲線就是改變凹性的點。應該修正為反曲點就是改變凹性的點。
page 4-7, Line 17, "sigma 符號" 卻畫一個三角形。

page 4-15 Line 6, 定理3, 如果 f 在 [a, b] 可連續, --> 應該是: 如果 f 在 [a, b] 連續 (把"可"刪去)
page 4-28 Line 14, 不定積分 來表示 f 的反函數 --> 應該是: 來表示 f 的反導數 (原文書是 antiderivatives)

Week 14: 均值定理

1. 費馬最後定理

2. § 3-2 均值定理

　　習題: 1, 4, 5, 7 12

3. § 3-3 導數和導函數的圖形

　　習題: 1, 8, 9, 10, 17

Book: 費馬最後定理

Week 13: 極大和極小值

1. § 2-8 微分元 (複習, 習題講解)

　　習題: 3, 6, 8, 12, 13

2. § 3-1 極大和極小值

　　習題: 2, 6, 7, 12, 18



3. § 3-2 均值定理

4. 第 14 週 星期四 小考 第二章 全部。

Week 12: 線性近似和微分算子

1. § 2-7 習題演練

2. § 2-8 線性近似和微分算子

　　習題: 3, 6, 8, 12, 13

3. 本週實習課小考 § 2-5, § 2-6 習題

4. 第 14 週 星期四 小考 第二章 全部。

Week 11: 隱微分與相對變化率

1. § 2-6 隱微分

　　習題:　1, 5, 8, 11, 14

2. § 2-7 相對變化率

　　習題: 6, 8, 12, 16, 18

3. 下週實習課小考 § 2-5, § 2-6 習題

Week 10: 連鎖法則

1. 檢討考卷

2. § 2-5 連鎖法則

　　習題: 3, 9, 11, 19, 27

Week 9: 期中考

　　2011F 期中考題

甲班:

　　　成績分布圖



　　　題目答對百分比




乙班:

　　　成績分布圖



　　　題目答對百分比


　

Week 8: 微分公式

1. 10/24 週一, 乙班進度:

　§2-3 微分基本公式

　　　習題: 7, 15, 18, 20, 22

　§2-4 乘法和除法公式

　　　習題: 1, 3, 12, 13, 15

2. 10/27 週四, 甲班進度:

　§2-3 微分基本公式

　　　習題: 7, 15, 18, 20, 22

　§2-4 乘法和除法公式

　　　習題: 1, 3, 12, 13, 15

3. 第九週期中考, 範圍: §1-1 ~ §2-4
　

Week 7: 微分基本公式

1. 10/17 週一, 乙班進度:

　 §1-6 無限的極限概念

　　　　習題: 1, 10, 15, 17, 21

　　§2-1 導數和變化率

　　　　習題: 1, 5, 11, 16, 19

　　§2-2 導數函數

　　　　習題: 2, 8, 9, 13, 18

　　週四實習課 小考 第一章全部

2. 10/20 週四, 甲班進度:

　　第一節課 小考 第一章全部

　　§2-3 微分基本公式

　　　習題: 7, 15, 18, 20, 22

Week 6: 導數和變化率

1. 10/10 週一, 乙班: 國慶日放假一天

2. 10/13 週四, 甲班:

　　§2-1 導數和變化率

　　　　習題: 1, 5, 11, 16, 19

　　§2-2 導數函數

　　　　習題: 2, 8, 9, 13, 18

Week 5: 函數的連續性與無限的極限概念

1. 10/03 週一, 乙班進度:

　§1-4 極限的運算

　　習題: 2, 4, 21, 23, 28 (Week 5, 10/06 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-5 函數的連續性

　　習題: 1, 5, 6, 13, 19 (Week 6, 10/13 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　　Week 7, 10/20 實習課小考第一章全部、請勿遲到。

2. 10/06 週四, 甲班進度:

　§1-5 函數的連續性

　　習題: 1, 5, 6, 13, 19 (Week 6, 10/11 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-6 無限的極限概念

　　習題: 1, 10, 15, 17, 21 (Week 7, 10/18 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　　Week 7, 10/20 正課第一節小考第一章全部、請勿遲到。

Week 4: 極限的運算

1. 9/26 週一, 乙班進度:

　§1-2 常用基本函數概述

　　習題: 6, 7, 11, 24, 27 ( 9/29 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-3 函數的極限

　　習題: 1, 3, 4, 5, 11 ( 9/29 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-4 極限的運算

2. 9/29 週四, 甲班進度:

　§1-4 極限的運算

　　習題: 2, 4, 21, 23, 28 ( 10/04 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-5 函數的連續性

3. 第二本指定閱讀:

　　漫畫微積分入門

　　

Week 3: 常用基本函數

1. 週一, 乙班進度:

　§1-1 函數及其描述方式

　　習題: 10, 12, 18, 25, 31 ( 9/22 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-2 常用基本函數概述 (講解到 p. 1-18 三角函數)

　　請於下週上課前, 閱讀課本至 § 1-3 結束。

2. 週四, 甲班進度:

　§1-2 常用基本函數概述

　　習題: 6, 7, 11, 24, 27 ( 9/27 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-3 函數的極限

　　習題: 1, 3, 4, 5, 11 ( 9/27 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-4 極限的運算

Week 2: 函數

1. 週一, 乙班逢中秋節放假一天。

2. 週四, 甲班進度:

　§1-1 函數及其描述方式

　　習題: 10, 12, 18, 25, 31 ( 9/20 實習課小考這五題習題, 請勿缺考)

　§1-2 常用基本函數概述 (講解到 p. 1-19 指數函數和對數函數)

　　請於下週上課前, 閱讀課本至 § 1-3 結束。

Week 1: 課程說明

1. 教科書



Author: James Stewart
代理: 滄海圖書

作者: James Stewart
審閱: 柯文峰
譯者: 何忠益
代理: 滄海圖書

Chapter 1. 函數與極限
Chapter 2. 導數
Chapter 3. 微分的應用
Chapter 4. 積分
Chapter 5. 反函數
Chapter 6. 積分技巧



2. 課程說明

a. 評分百分比:

第 9 週期中考 30%
第 18 週期末考 30%
平時成績 40 %

b. 平時成績 40% 計算方式:

小考 (50%)
作業 (50%)
指定閱讀加分

3. 指定閱讀進行方式:

a. 每個月閱讀一本指定閱讀, 繳交讀書心得書面報告並與老師約定時間當面討論書中內容者, 可以加平時成績最多 10 分。

b. 請於指定日期內完成上述兩項程序始可以加分, 逾期將不予加分。

c. 凡被發現心得報告有抄襲網路文章之行為、或未完成整本書之閱讀者, 該同學所有加分, 包含其他指定閱讀之加分, 將予以全部取消。

d. 抄襲行為由老師認定, 同學不得異議。

4. 第一本指定閱讀:

3 小時讀通微積分 (漫畫版)

Week 17: 部分分式

1. § 6-3 部分分式

2. 乙班 2011/06/06(一) 端午節放假一天,
　 補課日期 2011/06/09(四) 18:00-20:40 教室: S102

3. 微積分會考的重考時間訂為 6/11 上午 8:40

考試注意事項：

一、考試時間為100/6/11(六) 上午08:40-10:00，上午9:00後學生不得要求入場考試。考試開始20分鐘後始得離開考場。

二、測驗時間為50分鐘，系統會自動計時，時間到會強迫傳送作答檔至系統。

三、考試當場不公告成績，統一於考後一週內公告給各班教師。

四、遲到或缺考不受理補考。成績部分由授課教師自行決定。

五、請同學登入http://mdl.mcu.edu.tw/，點選9902-【班級代號】微積分，於畫面中間點選「99學年資訊學院微積分會考100/06/11」即可開始考試。

六、其他注意事項：
　a. 當天會發計算紙給同學，請同學檢查計算紙是否共有4張，有缺的跟老師更換。
　b. 考試完畢後，計算紙不可帶走，請往前傳給監考老師，若帶走或缺頁，視同作弊。　
　c. 不可使用計算機，也不可使用小算盤，違者視同作弊。

七、座位表:


　
4. 第四本 指定閱讀 之心得報告繳交期限為 2011/06/12。

Week 16: 三角積分與代換

1. 小考
　範圍: § 5-1 ~ § 5-4 + § 5-8
　每個 Sect. 考 2 題計算題, 共 10 題。

2. § 6-2 三角積分與代換

3. 微積分會考的重考時間訂為 6/11 上午 8:40

考試注意事項：

一、考試時間為100/6/11(六) 上午08:40-10:00，上午9:00後學生不得要求入場考試。考試開始20分鐘後始得離開考場。

二、測驗時間為50分鐘，系統會自動計時，時間到會強迫傳送作答檔至系統。

三、考試當場不公告成績，統一於考後一週內公告給各班教師。

四、遲到或缺考不受理補考。成績部分由授課教師自行決定。

五、請同學登入http://mdl.mcu.edu.tw/，點選9902-【班級代號】微積分，於畫面中間點選「99學年資訊學院微積分會考100/06/11」即可開始考試。

六、其他注意事項：
　a. 當天會發計算紙給同學，請同學檢查計算紙是否共有4張，有缺的跟老師更換。
　b. 考試完畢後，計算紙不可帶走，請往前傳給監考老師，若帶走或缺頁，視同作弊。　
　c. 不可使用計算機，也不可使用小算盤，違者視同作弊。

七、座位表:


　

Week 15: 分部積分

1. § 6-1 分部積分

　習題: 1, 3, 6, 8, 10

2. 微積分會考的重考時間訂為 6/11 上午 9:00

3. Week 16 第一節課 小考
　範圍: § 5-1 ~ § 5-4 + § 5-8
　每個 Sect. 考 2 題計算題, 共 10 題。

Week 14: 不定形及羅比達法則

1. § 5-8 不定形及羅比達法則

　習題: 2, 9, 12, 14, 17

2. 資訊學院 99學年度 微積分會考
　2011/05/20 (五) 12:40

Week 13: 一般的指數和對數函數

1. § 5-4 一般的指數和對數函數

　　習題: 1, 19, 22, 23, 25 (Week 14 實習課當場寫, 不可看書)

2. 提醒:

　　2011/05/20 (五) 12:50 - 13:40 資訊學院舉行微積分會考, 佔總成績 15%。

　　為使此次會考能夠順利進行，請同學於 12:40 前進入考場我們將於 12:40-12:50 這 10 分鐘進行考試說明，12:50 即開始考試。

　　考試當天請帶學生證，並請準時進入教室考試，考試規則比照學校期中、末考試規定(考試開始15分鐘後不得進入，以缺考計)。

　　考試系統為學校 Moodle 線上考試系統, 25題選擇題, 請依題好次序作答, 不得回頭重新更改前題答案。

　　請注意學生只能攜帶文具，不能帶紙張進考場，計算紙部分會由學院發放。

　　考試教室與座位表:



　

Week 12: 自然指數函數

1. § 5-3 自然指數函數

　習題: 8, 12, 17, 21, 33 (Week 13 實習課當場寫, 不可看書)

2011S 期中考試卷檢討

出題範圍: 第四章 積分 ( § 4-1 ~ § 4-5 )

這次的考題, 基本上可以分成三類:
(1). 考課本陳述的基本觀念, 如第 3, 4, 6, 8, 9 題。
(2). 考課本的例題, 如第 1, 7, 10 題。
(3). 考勾選的課本習題, 如第 2, 8 題。

第 1 題 ( § 4-1 )

　在 § 4-1, 課本透過探討『面積』和『距離』兩個問題來引導出積分的概念, 這一點, 我們曾經在第七週, 希望透過 小考 的方式, 提醒同學注意這個問題。( 見小考第 1 題 )

　
　
　第 1 題的考題其實就是課本 p. 4-9 頁的例題 4 , 但我希望同學不要只是會計算, 這樣太單純了。課本放這題例題的主要用意並不是讓大家單純地計算距離, 而是希望透過這個例題, 希望同學了解『面積』和『距離』兩個問題, 其實是可以互相轉換的, 進而引導出積分的概念。

　

　兩班的同學應該還有印象, 在上課時, 我請了兩位同學上台, 一位負責畫圖, 一位負責計算距離, 然後, 我再解釋如何把每一個矩形的面積看成所行走的距離。

這題答案就在課本的例題後面, 不但有 說明, 連 圖形 也畫出來了。

　

第 2 題 ( § 4-2 )

　在 § 4-1 用兩個問題引導出積分的極限概念後, 接著 § 4-2 就正式要定義什麼是定積分了。

　在正式定義之前, 課本先說明『定積分』其實就是在求取函數下的面積, 本身是極限形式的問題。然而, 用極限的概念求取面積之前, 課本先用『黎曼和』的方式來計算大概的面積。

　

　黎曼和的計算是所有微積分大大小小考試必定會考的簡單計算題。

　當然, 我們在 第 7 週的小考 第 3 題, 一樣考了一題黎曼和計算。為了讓大家有練習的機會, 我們勾選了 § 4-2 的習題第 3 題, 這一題只有切割成四個相同大小的區間, 計算並不會太繁瑣, 所以我決定期中考也考這一題, 題目完全一字不改, 以減少大家計算發生錯誤的機率。
　
　

第 3 題 ( § 4-2 )

　課本 § 4-2 介紹了用『黎曼和』的方式來求得函數曲線下的面積之後, 便正式地提出定積分的正式定義。定積分的定義中, 用了一連串的符號, 湊成了一個數學式子。數學式子背後隱藏的含義, 基本上, 是比式子本身還重要的。

　在課堂上, 我曾經發了 A4 白紙給大家, 讓大家嘗試在紙上寫出數學式子, 在 第 7 週的小考 第 2 題, 我們就曾經要求同學寫出定積分的定義, 並說明每個符號所代表的意義。而在期中考時, 我把數學式子列出來給大家看, 改成要求同學畫出圖形, 用圖形來解釋數學式子中, 各個符號所代表的意義。

　看懂數學式子的訓練, 對大學數學教育來說, 是最重要, 也是最基本的能力之一。如果同學將來繼續升學, 攻讀研究所, 甚至還需要自己定義數學符號, 在論文中, 寫出自己的數學式子。基於這樣的理念, 我才會考這一題符號解釋。

　

第 4 題 ( § 4-2 )

　透過定積分的定義, 我們並沒有辦法直接算出一給定函數所圍起來的面積。因此, 數學家必須再想想辦法, 給大家一個交代, 即便用手算不出來, 也要能夠讓大家用電腦或計算機把實際的面積大小給計算出來 !

　在定積分的定義中, 由於容許每個子區間的大小可以不一樣大, 加上子區間中任何一點都可以做為該區間的樣本點, 這樣的定義方式導致了在計算上的困難。

　因此, 數學家為了解決這兩個問題, 對子區間大小及樣本點的選擇, 均做了限制, 即子區間大小改為固定大小, 一律以右端點作為樣本點。只要證明當 n 趨近無限大時, 計算極限所得的結果會和定義所得到的極限值相同即可。

　有了定理之後, 就可以實際去算定積分的大小了, 這時候, 課本就開始使用例子, 讓大家熟練定積分的計算。

　為了讓同學了解定積分定義與定理之間差異, 所以我才出了這一題。

　

第 5 題 ( § 4-2 )

　§ 4-2 練習完『定積分的計算』之後, 最後一個主題就是探討定積分有什麼性質是值得大家關注的。課本總共提出了 8 個有趣的性質。而最後一個性質就是從一個函數在閉區間中的絕對極大值 M 與絕對極小值 m, 來估計函數定積分的上界與下界。

　

　性質 8 的道理其實非常直覺, 根本不需要去記憶。從課本的 Figure 17 中, 我們很容易看出函數下的面積介於兩個矩形面積 M(b-a) 和 m(b-a) 中。問題是, 我們總是要先知道絕對極大值 M 和絕對極小值 m 為何吧!

　

　在一個閉區間 [a, b] 中, 要求出絕對極大值和絕對極小值的方法是 第三章 微分的應用 所探討的主題之一。課本的第 3-7 頁甚至整理出所謂的閉區間法。如下圖,
　
　

　然而, 並不是所有的函數都需要用閉區間法才能算出 M & m。課本 p. 4-24 的範例 7 的函數就是一個例外。由於該函數是遞增函數, 所以在 [a, b] 區間中找不到任何的臨界點, 所以直接從步驟 2 開始就可以了。同學更可以仔細想想, 所謂的『遞增函數』其實就是告訴我們左端點的函數值就是極小值, 右端點的函數值就是極大值。

　

　§ 4-2 的習題 25-26, 就是在練習用 M & m 估計積分值, 我們也勾選了第 25 題做為要同學繳交的作業。期中考我們就是考第 25 題, 只不過把 [0, 2] 改成 [a, b] 而已。

　ˋˋ

第 6 題 ( § 4-3 )

　定積分的計算除了可以使用 § 4-2 的定理 之外, 還有一種更為簡潔的方式就是用 § 4-3 的取值定理。

　多數同學對取值定理應該不會感到陌生, 因為高中微積分課程所教的積分計算就是利用取值定理求值。課本在探討取值定理時, 除了提供證明之外, 花了一些篇幅在比較與說明 § 4-2 的定理 與 取值定理 之間的差異, 換句話說, 就是說明取值定理的提出, 改變了什麼? 有什麼貢獻?

　取值定理的貢獻很大, 但前提是你要先知道一個函數的反導數為何? 這樣才有辦法享受到取值定理所帶來的便利。

　出第 6 題就是希望同學了解取值定理的影響為何? 而不是只會計算。

　
　
第 7 題 ( § 4-3 )

　取值定理的計算當然也是這次期中考的重點之一。然而, 要出什麼樣的題目才會有鑑別度, 則是老師要去思考的。課本的範例 1 可以說是讓大家複習一下高中數學, 除非計算錯誤, 否則班上每一位同學應該都沒有問題才對。如果考試考這一題, 實在是太瞧不起大家了。

　

　我們選擇做為考題的是範例 2, 這一題在上課時, 我特別強調要同學看懂題目的意思。如果弄懂題目的意思了, 計算就會變得非常簡單, 完全沒有計算錯誤的可能。

　sin θ 的微分等於 cos θ , 同學早就耳熟能響了。那麼, 這一題考定積分的計算, 用取值定理, 要先知道 cos θ 的反導數, 大部分同學應該都知道是 sin θ 吧!

　考課本的例題就是不想為難大家, 希望大家能夠順利拿到分數。

　

第 8 題 ( § 4-3 )

　課本是介紹完定積分所有的概念後, 才開使討論什麼是不定積分的。在了解取值定理之後, 我們曉得要求定積分, 就要先知道反導數。因此, 課本就給了反導數一個全新的名稱和全新的符號, 這個名稱就是『不定積分』。

　所謂的不定積分, 其實就是『反導數』。但, 如果同學上課沒有聽課, 期中考前也沒有靜下心來看書, 就會天真地以為『不定積分』就是沒有上下極限 a, b 的積分, 求的就是沒有邊界的面積。

　考這題真得很容易就把有沒有聽課, 或有沒有仔細看書的同學給區分出來。這也是考試最主要目的, 不是嗎 ?

　
　
第 9 題 ( § 4-4 )

　課本說到:毫無疑問的,『微積分基本定理』是微積分中最重要的結果, 同時也是人類的科學發展中最偉大的發現之一。因此, 『微積分基本定理』當然是這次期中考的一大重點, 一定要考的 !

　雖然上課時, 我有證明『微積分基本定理』給同學看, 不過, 我從來沒有想過要考證明。在考卷上, 我們把整個『微積分基本定理』都擺上去, 同學只要說說『微積分基本定理』最主要陳述的概念是什麼即可, 答案也都在課本中。

　
　
第 10 題 ( § 4-5 )

　§ 4-5 的『變數變換法』所要處理的函數, 就如同上學期在介紹微分時, 在 § 2-5 我們用『連鎖法則』處理的函數一樣, 都是針對§ 1-2 的『合成函數』所提出的微分與積分之技巧。

　
　只要能看出題目中該如何將函數中的變數用 u = g(x) 代換掉, 原本有些複雜的合成函數積分問題, 就會變成單純函數的積分問題。

　

　第 10 題我們一樣只是考同學例題 1, 只不過把 § 4-5 的兩個重點合成在一題之中, 變成先用變數變換法求 不定積分, 然後再將 a, b 代入求 定積分。
　
　
　

Week 11: 自然對數函數

1. § 5-2 自然對數函數

　習題: 6, 8, 24, 30, 31 (Week 12 實習課當場寫, 不可看書)

2. 期中考試卷檢討

Week 10: 反函數

1. § 5-1 反函數

　　習題: 2, 11, 14, 16, 22 (第11週實習課繳交)

2. § 5-2 自然對數函數

Week 9: 期中考

　期中考範圍為 第四章 積分。



　成績公布:



　甲班同學成績分布圖

　

　乙班同學成績



　乙班同學成績分布圖

　


　第 3 題寫得很好的答案:
　
　

　

　

　

　第 8 題寫得很好的答案:


　

　第 9 題寫得很好的答案:

　

　甲班同學各題平均分數統計圖

　

　乙班同學各題平均分數統計圖

　

Week 8: 春假放假

本週一與週二均為春假期間, 故甲、乙兩班皆放假。
希望同學好好準備第九週的期中考。

Week 7: 小考

甲班:

　a. 第一堂課 13:50 - 14:40 舉行小考, 請勿遲到。



　b. § 4-5 變數變換法

乙班:

　a. 第一堂課 9:10 - 10:00 舉行小考, 請勿遲到。



　b. § 4-4 微積分基本定理
　c. § 4-5 變數變換法 (星期一晚上 6:00 - 8:40 加上三節課!)
　

2010S 指定閱讀

第一本: 第56號教室的奇蹟 (2011/03/13 繳交截止)

　　　

　第二本: (2011/04/10 繳交截止)

　　甲班: 漫畫微積分入門

　　　
　
　　乙班: 蘋果橘子經濟學

　　　

　第三本: 阿基米德寶典 失落的羊皮書 (2011/05/08 繳交截止)

　　　

　第四本: 世界第一簡單 傅立葉轉換 (2011/06/12 繳交截止)
　　
　　　

Week 6: 微積分基本定理

期中考範圍公布: 第四章 積分

甲班:

§ 4-4 微積分基本定理

　§ 4-4 習題: 1, 6, 10, 12, 15


乙班:

§ 4-3 定積分的計算

　1. 取值定理

　

　2. 取值定理的證明

　3. 不定積分

　4. 應用:
　　　淨變化量定理

　§ 4-3 習題: 2, 6, 21, 26, 30

§ 4-4 微積分基本定理

微積分基本定理 The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 這個名字的由來，是因為它建立起微積分二個主要部份之間的關係。(It establishes a connection between the two branches of calculus—differential calculus and integral calculus.)

微分的和積分的概念，一個是為了解決切線問題(tangent problem)，另一個則是來自於面積問題(area problem)，看起來似乎是完全無關的。

牛頓在劍橋大學的老師 Isaac Barrow(1630-1677) 發現，其實微分和積分是互逆的過程。

　　
　　　　　Isaac Barrow(1630-1677)

二者間精確的關係則是由牛頓和萊布尼茲分別建立，也就是微積分基本定理的主要內容。

定理的第一部份處理的是以積分形式定義的函數。

　　　

　　如果 f 是正的， g(x) 可以看做是 f 從 a 到 x 圍出的面積，而 x 可以是 a 和 b 間的任何數。


例 1 :

　　　
　
　　　　

　　　
　
　
　
用上述的值可以大略畫出 g 的圖形( Figure 4 )。

　　　

在 t <> 3 時， f(t) 是負的，所以 g 是遞減的。

例 2:

請同學思考: 例 2 的目的是甚麼? 找出 g(x) 然後計算 g'(x)
如果結果是 g' = f,
那麼同學可以明白作者想要表達什麼了嗎?

例 2 中的 g 滿足 g'(x) = x² , 也就是說積分定義出來的函數是被積函數的反導數。

請同學回到例 1 觀察 Figure 4, 檢查察一些比較容易觀察的點, 她的切線斜率是否就是 Figure 2 的函數值?

接下來作者就要開始認真討論: 是否某一個函數, 用積分定義出來的函數, 就是該函數的導函數?

要知道一般的情形為什麼是對的，我們先考慮滿足 f(x) ≥ 0 的函數。因為函數是正的, 所以用積分定義出來的函數, 基本上就是代表函數從 a 到 x 所圍起來的面積, 如 Figure 1。

　　　

如果 g(x) 所代表的是上面藍色區域的面積大小, 那麼下圖 (Figure 5) 中的藍色區域的面積, 就是

　g(x+h) - g(x)


　　　

為了要用定義來計算 g'(x), 先假定 h > 0,
這時 g(x + h) – g(x) 會是面積的差,
也就是 f 圖形下方從 x 到 x + h 的面積
(Figure 5 中的陰影部份)。

我們可以用長方形來大約估算藍色區域的面積。長方形的面積是底 h 乘上高 f(x), 所以

　g(x+h) - g(x) ≈ h f(x)

將兩邊同除以 h, ( h>0 )

　g(x+h) - g(x) ／ h ≈ f(x)

當 h 很小很小時, 換句話說, h → 0 時, 上面的式子兩邊都取極限 h → 0,

左邊的式子基本上就是 g' 微分的定義,

因此可以得到 g' (x) ≈ f(x)

所以, 我們可以猜測 g' (x) = f(x),

且這對一般的 f(x), (不一定要限制 f(x) ≥ 0 ) 都是正確的 !

微積分基本定理, 第一部分
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1 (FTC1)