2009年11月2日 星期一

Week 08: § 1-6 無限的極限概念

(2009/11/03)

§ 1-6 無限的極限概念

1. 什麼是無窮極限? 定義是什麼?

  f(x)x 趨近於 a 時的極限是無限大

  
 
  
 
2. 注意: ∞ 並不是一個數, 極限值等於 ∞ 並不代表極限存在!

3. 垂直漸進線 (vertical asymptote )

4. 什麼是 "無窮遠處的極限" ?

   
 
5. 定義:
  假設函數 f 在區間 (a, ∞) 有定義,
  而且當 x 取足夠大時, f(x) 都會很靠近 L,
  我們就說 f 有極限
  lim f(x) = L, as x → ∞
 
6. 水平漸進線 (horizontal asymptote )
 
7. § 1-4 中的 極限法則, 如果把敘述 "x → a" 改為 "x → ∞" 或 "x → -∞" , 還會繼續成立嗎?

  
 
8. 包含無窮概念之極限的正式定義

Chapter 2 導數 Derivatives

§ 2-1 導數和變化率

1. 導數是一種特別的極限,
 可以用來求曲線的切線斜率和求一物體的速度!

2. 切線問題:
 一條曲線的切線就表示會和這曲線相接觸的一條直線。
 換句話說, 切線和該曲線在接觸的那點有相同的方向。

 

 歐幾里德(Euclid): 切線就是一條和圓恰好相交於一點的直線。
A tangent is a line that intersects the circle once and only once.

     
 
 例 1 : 試求拋物線
     
    在點 P (1, 1) 的切線方程式。
 
  

 上圖中, 割線 PQ 的斜率為何?

  
 
 觀察上圖可知, 當 Q 越來越接近 P, 割線 PQ 也會越來越像切線 T。
 
 由此看來, 當 x 趨近於 1 時, 割線斜率的極限 就是 切線的斜率
 
3. 有時候, 我們也把曲線在某一點的切線斜率, 就稱做是曲線在這點的斜率。
 理由是...

  

4. 如果 C 是由函數 y = f(x) 定義的曲線, 而我們想要求 C 在點 P ( a, f(a) ) 的切線方程式,
 方法是...

  
 
5. 定義:

  

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