§ 6-2 三角積分及代換 Trigonometric Integrals and Substitutions

在這一節要討論的是三角函數的積分, 以及可以用三角函數代換來解的積分。

1. 三角函數積分 (Trigonometric Integrals)

　有些三角函數的積分可以用三角函數的恆等式(trigonometric identities)來改寫並求解。

　恆等式: sin²x + cos²x = 1
　
　例 1: 求 ∫ cos³x dx。

　　這一題只用 § 4-5 變數變換法, 令 u = cos x , 並不能解這個積分。

　　必須將 cos³x 拆成 cos²x 和 cos x 的乘積, 然後用恆等式 cos²x = 1 - sin²x 將原式代換

　　　　 ∫ cos³x dx
　　　　= ∫ cos²x cos x dx
　　　　= ∫ (1 - sin²x) cos x dx
　　　　= ∫ cos x dx - ∫ sin²x cos x dx

　　接下來就可以用 § 4-5 變數變換法 來求得 ∫ sin²x cos x dx 。

　一般而言, 我們的目的是把包含 sin x 及 cos x 的被積函數表示為只有一項 sin x 的因式, (其他部分只用 cos x 表示); 或只有一項 cos x 的因式, (其他部分只用 sin x 表示)。

　用恆等式 sin²x + cos²x = 1 可以在 sin x 和 cos x 間來回變換, 這時它們的乘方只會差偶數次。

　例 2: 求 ∫ sin^5 x cos²x dx。

　　如果把 cos²x 用 1- sin²x 代換, 會得到一個只有 sin x 的積分。但這並不是我們所要的。

　　比較好的做法是留下一項 sin x, 把剩下的因式 sin^4 x 用 cos x 表示。

　　sin^5 x cos²x = ( sin²x )² cos²x sin x = ( 1- cos²x )² cos²x sin x

　　接下來, 就可以用變數變換法了....

　　令 u = cox x , 則 du = -sin x dx ,

　　 ∫ ( 1- cos²x )² cos²x sin x dx
　　　= ∫ ( 1 - u² )² u² (-du)
　　　= -∫ ( 1 - 2 u² + u^4) u² du
　　　= -∫ ( u² - 2 u^4 + u^6) du
　　　= - ( 1/3 u³ - 2/5 u^5 + 1/7 u^7 ) + C
　　　= - 1/3 cos³x + 2/5 cos^5 x - 1/7 cos^7 x + C
　
　上述的例子中, sin x 或是 cos x 的乘方都是奇數, 因此,可以提出一項, 然後將剩下的部分用恆等式 sin²x + cos²x = 1 將 sin x 或 cos x 代換掉。如果它們的乘方都是偶數, 這個方法並不可行。

　 這時, 可以嘗試用半角公式 ( 見 附錄 A 的式 17a 和 17b )

　　　　sin²x = (1/2) (1 - cos 2x )
　　　　cos²x = (1/2) (1 + cos 2x )

2. 三角函數的代換 (Trigonometric Substitutions)

　當我們在算圓或橢圓的面積時，會需要解像∫ √(a²-x²) dx 的積分 ( 取 a > 0 )。

　如果是∫ x √(a²-x²) dx，只要用變數變換 u = a²-x² 就可以解，但是 ∫ √(a²-x²) dx 就困難多了。

　如果把 x 變為 x = a sin θ , 可以透過 1 – sin²θ = cos²θ 把根號除掉:

　　　√(a²-x²)
　　= √(a²-a²sin²θ)
　　= √(a²(1-sin²θ))
　　= √(a²(cos²θ))
　　= a |cosθ|

　要用 x = a sin θ 代換時，必須先保證它是一對一的，這可以把 θ 限制在 [–π/2, π/2] 做到。