§ 5-2 自然對數函數 (natural logarithmic function)

自然對數函數 (natural logarithmic function)

1. 定義

　　

　　

　　

2. 自然對數函數的微分律

　　d/dx (ln x) = 1/ x

3. 對數律

　　若 x 和 y 是正數而 r 是有理數, 則

　　(1) ln (xy) = ln x + ln y
　　(2) ln (x/y) = ln x - ln y
　　(3) ln (x^r) = r ln x

4. 圖形

　　為了要畫 y = ln x 的圖形, 我們要先討論
　　(1) 當 x 趨近無限大時, ln x 的值為何?
　　(2) 當 x 趨近 0+ 時, ln x 的值為何?


　　

5. 定義: e 是滿足 ln e = 1 的數。

　　

　　

　上圖是由電腦畫出 y = ln x 與 y = 1 的圖形, 然後用交點的 x 座標來估計 e 值。將圖放大會得到近似值

　　e ~ 2.718....

　e 是一個無理數, 其小數表示法是不會循環的。
　
6. 例 5: 微分 y = ln (x^3 + 1)。
　
　例 6: 求 d/dx ln (sin x)。
　
　例 7: 微分 f(x) = (ln x)^(1/2)。
　
　例 8: 求 d/dx ln (x+1)/(x-2)^(1/2)。
　
　例 9: 求 f(x) = ln |x| 的導數。
　
7. 重要式子 ( 由 例 9 的結果延伸出來 )

　d/dx ln |x| = 1/x
　
　

　上面的式子補足了 p.4-29 中, 關於冪函數的積分, 所沒有考慮到 n= -1 的情況。
　
8. 例 10

　　　

　 例 11

　　　

　 例 12

　　　
　
9. 對數微分法

　步驟:

　(1) 對 y = f(x) 的二邊取自然對數, 接著用對數律化簡。
　(2) 對 x 隱微分。
　(3) 解出 y'。