§ 3-1 極大和極小值

微積分最重要的應用之一是 最佳化問題。

1. 同樣的容量, 可以得到最低成本的罐頭形狀是什麼?

2. 什麼是太空船的最大加速度?

3. 人在咳嗽時, 可以將空氣從體內以最快的速度釋放出來的氣管大小是多少?

4. 當你在藝廊參觀時, 要站在離畫多遠處才可以得到最好的觀賞視野?

定義

如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x),
我們就說 f 在 c 處有 絕對極大值(absolute maximum) 或 全域極大值(global maximum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極大值 (maximum value)。

同樣的, 如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x),
就說 f 在 c 處有 絕對極小值(absolute minimum) 或 全域極小值(global minimum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極小值(minimum value)。

上述的最大和最小值稱為 f 的 極值(extreme values)。



定義

如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x)
[ 也就是說在某一包含 c 的開區間中的 x 都滿足 f(c) ≧ f (x) ],
我們就說 f 在 c 點有區域極大值(local maximum) 或 相對極大值(relative maximum)。

同樣的, 如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x)，就說 f 在 c 點有 區域極小值(local minimum)。







極值定理

如果函數 f 在一閉區間 [a, b] 中連續, 則在 [a, b] 中一定存在二個值 c 和 d 使得 f (c) 是絕對極大值而 f (d) 是絕對極小值。




　

　


費馬定理

如果 f 在 c 點有區域極值而且 f '(c) 存在, 則 f '(c) = 0





定義

如果函數 f 在 c 的導數 f ’ (c)=0 或 f ’ (c)不存在,
我們就稱 c 是 f 的一個 臨界點(critical point)。



若 f 在 c 點有區域極值，則 c 是 f 的一個臨界點。

閉區間法

如果想要求出連續函數 f 在閉區間 [a, b] 絕對極值, 可以依下列步驟:
1. 求 f 在 (a, b) 的臨界點上的函數值。
2. 求 f 在端點的值。
3. 步驟 1 和 2 得到的值中，最大的就是絕對極大值; 最小的就是絕對極小值。