§ 2-7 相對變化率

這一節中, 課本的陳述只有短短兩段, 接下來就是用例題來讓同學了解什麼是"相對變化率",

如果我們將一氣球充氣，它的體積和半徑都會增加，而它們的增加率之間互有關聯。實際上體積的增加率會比半徑的增加率容易求得。

閱讀完上述文章, 請同學思考:

1. 什麼是體積的增加率?
2. 體積的增加率是固定的嗎?
3. 怎麼求得體積增加率?
4. 什麼是半徑的增加率?
5. 半徑的增加率是固定的嗎?
6. 怎麼求得半徑增加率?
7. 為什麼體積的增加率比較容易求得?

課文這一段的陳述, 只有討論到 "變化率", 接下來, 才要進入『相對』的主題。

請同學思考:

1. 所謂的『相對』, 指的是什麼?
2. 是指兩個變化率之間的關係嗎?
3. 如果兩個變化率之間存在一種關係, 這個關係就是所謂的函數嗎?
(請同學回想函數的定義是什麼?)
4. 要怎麼得到這個函數呢?

我們看看課文是怎麼寫的:

在牽涉到相對變化率的問題中，通常是想要利用某個量的變化率來求出另一個量的變化率(有可能容易算很多)。作法是先找到描述二個量之關係的方程式，然後利用連鎖法則將方程式的等號二邊都對時間作微分。

If we are pumping air into a balloon, both the volume and the radius of the balloon are increasing and their rates of increase are related to each other. However, it is much easier to measure directly the rate of increase of the volume than the rate of increase of the radius.

In a related-rates problem, the idea is to compute the rate of change of one quantity in terms of the rate of change of another quantity( which may be more easily measured). The procedure is to find an equation that relates the two quantities and then use the Chain Rule to differentiate both sides with respect to time.

習題 18: 一錶上的秒針長 8 公厘而時針則是 4 公厘長。在 1 點時, 二針針尖的距離的相對速度為何 ?

1. 由餘弦定理 (The Law of Cosines) 可以導出兩個針尖距離的關係式

距離 l² = 8² + 4² - 2 * 8 * 4 * cos θ = 80 - 64 cos θ

l² = 80 - 64 cos θ

2. 再對此關係式的兩邊同時對 時間(t) 微分

2l * (dl/dt) = 64 sin θ * (dθ/dt)