為什麼我都有看書, 卻還是考不好 ?

讓我們從 § 1-4 的習題 6 開始談起...

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這是微積分課本 §1-4 極限的運算 的習題, 題目分成兩小題, 其差別就是在左右兩邊加上極限符號, 請同學研判並解釋等號是否成立?

這題也是去年 2012F 的期中考 題目, 評分會部分給分, 兩班的答題率各為 36% 與 45%, 拿到滿分 8 分的分別有 10 位與 12 位。整題放棄的同學分別有 22 位與 16 位。

像這類要同學解釋的題目, 一直是同學最弱的一環, 曾經有同學在給我的教學回饋中, 寫下這樣的想法。

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然而, 同學哪邊最不擅長, 那邊最弱, 我們就應該往哪邊去加強、去練習, 不是嗎?

讓我們回到關於這題習題的討論。(a) 下列式子有什麼問題?

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把 (a) 的式子輸入到 Wolfram Alpha 網站中, 會得到 True ( for x ≠ 2 ) 的解答。但我們可以嘗試更深入地去思考...

這是出在 §1-4 的習題中的練習題, 要完整地解釋這一題, 則會用到所有之前討論過的所有觀念。同學們想的起來, 前面所談論過的重要觀念有哪些嗎?

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第 1 章的主題是函數與極限。函數是討論的對象, 極限則是從函數中, 運用想像力所建構出來的一個概念。你沒有看錯, 這真的需要一點想像力的!

§ 1-1 的主題是告訴同學什麼是函數, 函數的定義為何?

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§ 1-2 的主題則是告訴同學有哪些基本函數? 各種基本函數的特性為何? 基本函數包含線性函數、多項式函數、冪函數、有理函數、三角函數、指數函數、對數函數等七大類。

用函數的概念來思考問題(a), 可以令左式為 f(x), 即

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換句話說, f(x) 其實是一個有理函數。

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有理函數的定義域需要特別注意, 必須排除所有使分母為 0 的點, 因此, 函數 f 的定義域為 { x | x ≠ 2 }。函數 f 的圖形如下,

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同理, 令右式為 g(x), 即

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很明顯地, g(x) 是一個線性函數。

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函數 g 的定義域為 { x | x ∈ R }。函數 g 的圖形如下,

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理解了兩個函數之後, 若把問題 (a) 的式子代換成以下形式, 再問你同樣的問題, 你會回答了嗎?

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這兩個函數, 定義域、值域都不相同, 函數圖形也不相同, 還會是相同的函數嗎? 即使這兩個函數的相似度達到 99.999999999...%, 這還是兩個不同的函數呀! 雙胞胎也是兩個的獨立個體, 不是嗎?

除非, 你先表明你不在乎 x 在 2 那個點的表現, 你就可以說這是兩個相同的函數。這也是 Wolfram Alpha 網站, 會如此陳述解答 True ( for x ≠ 2 ) 的原因。

把解答背起來, 寫在考卷上很簡單! 但這不是學習, 更不是教育! 你弄懂這之間的差距了嗎? 所有用到的觀念, 都是你認為簡單到不行的觀念, 但是不看解答, 你就不會做習題了, 這是什麼原因造成的呢? 每年都會有同學跟我要習題解答, 我都會拒絕給, 希望同學可以了解我的想法, 解答並不會幫助你思考, 更不會幫助你整合課本中的簡單觀念, 只會幫助你通過考試! 但這絕對不是我想要你們培養的能力呀!

接下來, 問題 (b) 是把 (a) 兩邊都加上極限符號,

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希望同學說明, 為什麼剛剛有問題, 現在就沒有問題了? 兩個式子的差別在哪?

極限的概念是 § 1-3 所討論的主題, 直觀上的極限定義如下圖,

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如果對定義不太有感覺, 在課堂上, 我們也用了另外一種說法, 來幫助同學想像極限的概念:

所謂的極限值, 其實是『 二個特定點的函數值 』, 我們要求當 x 接近於 a 點的極限值時, 其實是在『 求 a 旁邊那兩個點的函數值 』, 換句話說, 如果要求

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其實真正要求的是

f(2.999999...9) = ?

小數點後面的 9 要多少個就寫多少個, 總之就是很多 9 就對了!

或者要求的是

f(3.000000...01) = ?

小數點後面的 0 要多少個就寫多少個, 最後記得加一個 1, 這樣就對了!

總之, 在定義上, 並不是要求 f(3), 而是求剛好在 3 左右兩邊的那個點。

因為, 上面那兩個點, 我們用肉眼看不太清楚, 用寫的要寫很多很多個 9, 或是寫的要寫很多很多個 0, 數學家也寫得很煩, 乾脆就發明一個符號來表示, 就是在函數 f(x) 前面加一個極限符號來表示這兩個特殊點。如下.

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其實, 課本也怕同學沒有感覺, 也僅接著加碼解釋...

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課本中, 圖 2 的三種函數情況, 不管 a 點在函數上有沒有定義, 只要是求 a 點的極限值, 就通通都是 L 。

在 § 1-3 的習題中, 也有好幾題都是『給定函數的圖形, 要同學用看的, 看出極限值』這樣的題目, 如下圖,

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總之, 如果理解了 § 1-3 中所討論的極限概念, 應該具備『 從函數圖形中, 看出特定點上的極限值 』的能力才對!

讓我們回到問題 (b),

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如果我們已經知道左邊函數 f(x) 的圖形是

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右邊函數 g(x) 的圖形是

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問題(b) 要求的是點 2 的旁邊的點的函數值, 從圖形來看, 很容易就可以判斷是相等的。因為兩個圖形只有在 2 那個點是不同的, 其餘點都是相同的。

答案 很明顯吧!

接下來, 希望同學思考一個問題, 這題的解答只用到 § 1-1, § 1-2, § 1-3 的基本觀念就可以判斷了, 為什麼作者會把這一題放在 § 1-4 極限的運算 這一節的習題中呢??

首先, 讓我們來回顧 § 1-4 的主題 "極限的運算", 換言之, 就是希望透過運算的方式, 來求得極限值(再複習一次: 求極限值就是求特殊點上的函數值)。

課本上, 首先列出了 11 項極限法則,

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對大部分組合起來的複雜函數來說, 要求極限值, 都可以運用極限法則來求出答案。但要注意的是前提必須是函數 f(x) 與 g(x) 在 a 點的極限值要先存在。

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順便提一下, 極限法則中, 我個人認為最重要的兩條是第 7, 8 兩條。這兩條法則看似平凡, 但卻是一切運算的根本呀! 因為這兩條極限法則會分別得到 c 與 a 兩個常數值，也就因為如此, 大部分的題目最後都可求出所謂的 "值" 呀!

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仔細看看例題 1 中的兩個題目, 最後可以求出"值"來, 是不是就是因為最後運用了這兩條極限法則呢?

極限的運算, 第二項武器就是直接帶入法則, 要運用這項法則, 同樣要注意它的前提。

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直接代入法則, 名稱已經夠直白(直接明白) 了。要求的是某點的極限值



卻可以用該點的函數值 f(a) 來當作答案, 這表示兩個值應該是一樣的! 換句話說, 就是

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這個數學式子, 其實是為 § 1-5 函數的連續性 所埋下的伏筆,

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換句話說, 只要函數在該點連續, 當要求該點的極限值時, 就可以直接用該點的函數值來當作答案了。因此, 直接帶入法則的使用前提就變成函數在該點連續了, 這樣子不是很方便嗎?

§ 1-4 明白的寫出第三項可以用來求極限值的武器就是夾擊定理,

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接下來, 課本中所要討論的就是需要用到夾擊定理才能證明的, 也是解極限常常會用到的

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最後的例題, 則是在 § 2-3 證明函數 sin x 的導函數為 cos x 會使用到的極限問題

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然後, § 1-4 所有的討論到此就結束了。

讓我們總結 § 1-4 極限的運算, 總共有以下三個可以使用的武器:

(1) 極限法則,
(2) 直接帶入法則,
(3) 夾擊定理。

以上又和 習題 6(b) 的數學式子有什麼關係呢?



這個等式, 若是從左式推導到右式, 代表分子、分母可以同時除以一個式子; 若是從右式推導到左式, 代表分子、分母可以同時乘上一個式子。這是求極限的過程中, 常常會用到的一項武器。雖然沒有明白地寫在課本的討論內容上, 但這項武器卻常常出現在課本的例題之中, 例如, p. 1-40 的例 2, 在分子、分母同時除以 (x-1),

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還有 p. 1-41 的例 4, 在分子、分母同時除以 h,

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同樣在 p. 1-41 的例 5, 為了將在分子的根號去除, 先同時在分子、分母同時乘以



在有理化運算完成之後, 接著又對分子、分母同時除以 t² ,

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在 p.1-46 的例 11, 在分子、分母同時乘上 ( cos θ + 1 ) ,

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從這許多例題中, 我們看見在分子、分母同乘或同除一個式子的運算技巧, 確實在求極限的題目中常常會用到。

因為並沒有在課本的討論中提出, 我們將這項技巧稱之為隱藏版的武器也不為過。

這真是一項重要的觀念, 教科書作者沒有明白地在課文中提出來討論, 因此特別在習題中指出來, 希望同學可以確實掌握並運用在求極限的運算之中。

...

上面整個論述就是關於這題習題的完整思考!

不管是就讀哪一個科系, 大學教育最重要的就是教會同學思考, 思考越深入, 教育就越成功。

但思考要怎麼教呢?

我覺得思考是可以透過練習, 慢慢培養出來。

從小處開始慢慢練習, 小到從一題微積分的習題開始練習思考, 越常練習, 慢慢思考就會越來越深入。不練習就永遠只是從很膚淺的角度看待事情,... 永遠都弄不懂明明有看書, 卻還是考不好的原因。