出題範圍: 第四章 積分 ( § 4-1 ~ § 4-5 )
這次的考題, 基本上可以分成三類:
(1). 考課本陳述的基本觀念, 如第 3, 4, 6, 8, 9 題。
(2). 考課本的例題, 如第 1, 7, 10 題。
(3). 考勾選的課本習題, 如第 2, 8 題。
第 1 題 ( § 4-1 )
在 § 4-1, 課本透過探討『面積』和『距離』兩個問題來引導出積分的概念, 這一點, 我們曾經在第七週, 希望透過 小考 的方式, 提醒同學注意這個問題。( 見小考第 1 題 )
第 1 題的考題其實就是課本 p. 4-9 頁的例題 4 , 但我希望同學不要只是會計算, 這樣太單純了。課本放這題例題的主要用意並不是讓大家單純地計算距離, 而是希望透過這個例題, 希望同學了解『面積』和『距離』兩個問題, 其實是可以互相轉換的, 進而引導出積分的概念。
兩班的同學應該還有印象, 在上課時, 我請了兩位同學上台, 一位負責畫圖, 一位負責計算距離, 然後, 我再解釋如何把每一個矩形的面積看成所行走的距離。
這題答案就在課本的例題後面, 不但有 說明, 連 圖形 也畫出來了。
第 2 題 ( § 4-2 )
在 § 4-1 用兩個問題引導出積分的極限概念後, 接著 § 4-2 就正式要定義什麼是定積分了。
在正式定義之前, 課本先說明『定積分』其實就是在求取函數下的面積, 本身是極限形式的問題。然而, 用極限的概念求取面積之前, 課本先用『黎曼和』的方式來計算大概的面積。
黎曼和的計算是所有微積分大大小小考試必定會考的簡單計算題。
當然, 我們在 第 7 週的小考 第 3 題, 一樣考了一題黎曼和計算。為了讓大家有練習的機會, 我們勾選了 § 4-2 的習題第 3 題, 這一題只有切割成四個相同大小的區間, 計算並不會太繁瑣, 所以我決定期中考也考這一題, 題目完全一字不改, 以減少大家計算發生錯誤的機率。
第 3 題 ( § 4-2 )
課本 § 4-2 介紹了用『黎曼和』的方式來求得函數曲線下的面積之後, 便正式地提出定積分的正式定義。定積分的定義中, 用了一連串的符號, 湊成了一個數學式子。數學式子背後隱藏的含義, 基本上, 是比式子本身還重要的。
在課堂上, 我曾經發了 A4 白紙給大家, 讓大家嘗試在紙上寫出數學式子, 在 第 7 週的小考 第 2 題, 我們就曾經要求同學寫出定積分的定義, 並說明每個符號所代表的意義。而在期中考時, 我把數學式子列出來給大家看, 改成要求同學畫出圖形, 用圖形來解釋數學式子中, 各個符號所代表的意義。
看懂數學式子的訓練, 對大學數學教育來說, 是最重要, 也是最基本的能力之一。如果同學將來繼續升學, 攻讀研究所, 甚至還需要自己定義數學符號, 在論文中, 寫出自己的數學式子。基於這樣的理念, 我才會考這一題符號解釋。
第 4 題 ( § 4-2 )
透過定積分的定義, 我們並沒有辦法直接算出一給定函數所圍起來的面積。因此, 數學家必須再想想辦法, 給大家一個交代, 即便用手算不出來, 也要能夠讓大家用電腦或計算機把實際的面積大小給計算出來 !
在定積分的定義中, 由於容許每個子區間的大小可以不一樣大, 加上子區間中任何一點都可以做為該區間的樣本點, 這樣的定義方式導致了在計算上的困難。
因此, 數學家為了解決這兩個問題, 對子區間大小及樣本點的選擇, 均做了限制, 即子區間大小改為固定大小, 一律以右端點作為樣本點。只要證明當 n 趨近無限大時, 計算極限所得的結果會和定義所得到的極限值相同即可。
有了定理之後, 就可以實際去算定積分的大小了, 這時候, 課本就開始使用例子, 讓大家熟練定積分的計算。
為了讓同學了解定積分定義與定理之間差異, 所以我才出了這一題。
第 5 題 ( § 4-2 )
§ 4-2 練習完『定積分的計算』之後, 最後一個主題就是探討定積分有什麼性質是值得大家關注的。課本總共提出了 8 個有趣的性質。而最後一個性質就是從一個函數在閉區間中的絕對極大值 M 與絕對極小值 m, 來估計函數定積分的上界與下界。
性質 8 的道理其實非常直覺, 根本不需要去記憶。從課本的 Figure 17 中, 我們很容易看出函數下的面積介於兩個矩形面積 M(b-a) 和 m(b-a) 中。問題是, 我們總是要先知道絕對極大值 M 和絕對極小值 m 為何吧!
在一個閉區間 [a, b] 中, 要求出絕對極大值和絕對極小值的方法是 第三章 微分的應用 所探討的主題之一。課本的第 3-7 頁甚至整理出所謂的閉區間法。如下圖,
然而, 並不是所有的函數都需要用閉區間法才能算出 M & m。課本 p. 4-24 的範例 7 的函數就是一個例外。由於該函數是遞增函數, 所以在 [a, b] 區間中找不到任何的臨界點, 所以直接從步驟 2 開始就可以了。同學更可以仔細想想, 所謂的『遞增函數』其實就是告訴我們左端點的函數值就是極小值, 右端點的函數值就是極大值。
§ 4-2 的習題 25-26, 就是在練習用 M & m 估計積分值, 我們也勾選了第 25 題做為要同學繳交的作業。期中考我們就是考第 25 題, 只不過把 [0, 2] 改成 [a, b] 而已。
ˋˋ第 6 題 ( § 4-3 )
定積分的計算除了可以使用 § 4-2 的定理 之外, 還有一種更為簡潔的方式就是用 § 4-3 的取值定理。
多數同學對取值定理應該不會感到陌生, 因為高中微積分課程所教的積分計算就是利用取值定理求值。課本在探討取值定理時, 除了提供證明之外, 花了一些篇幅在比較與說明 § 4-2 的定理 與 取值定理 之間的差異, 換句話說, 就是說明取值定理的提出, 改變了什麼? 有什麼貢獻?
取值定理的貢獻很大, 但前提是你要先知道一個函數的反導數為何? 這樣才有辦法享受到取值定理所帶來的便利。
出第 6 題就是希望同學了解取值定理的影響為何? 而不是只會計算。
第 7 題 ( § 4-3 )
取值定理的計算當然也是這次期中考的重點之一。然而, 要出什麼樣的題目才會有鑑別度, 則是老師要去思考的。課本的範例 1 可以說是讓大家複習一下高中數學, 除非計算錯誤, 否則班上每一位同學應該都沒有問題才對。如果考試考這一題, 實在是太瞧不起大家了。
我們選擇做為考題的是範例 2, 這一題在上課時, 我特別強調要同學看懂題目的意思。如果弄懂題目的意思了, 計算就會變得非常簡單, 完全沒有計算錯誤的可能。
sin θ 的微分等於 cos θ , 同學早就耳熟能響了。那麼, 這一題考定積分的計算, 用取值定理, 要先知道 cos θ 的反導數, 大部分同學應該都知道是 sin θ 吧!
考課本的例題就是不想為難大家, 希望大家能夠順利拿到分數。
第 8 題 ( § 4-3 )
課本是介紹完定積分所有的概念後, 才開使討論什麼是不定積分的。在了解取值定理之後, 我們曉得要求定積分, 就要先知道反導數。因此, 課本就給了反導數一個全新的名稱和全新的符號, 這個名稱就是『不定積分』。
所謂的不定積分, 其實就是『反導數』。但, 如果同學上課沒有聽課, 期中考前也沒有靜下心來看書, 就會天真地以為『不定積分』就是沒有上下極限 a, b 的積分, 求的就是沒有邊界的面積。
考這題真得很容易就把有沒有聽課, 或有沒有仔細看書的同學給區分出來。這也是考試最主要目的, 不是嗎 ?
第 9 題 ( § 4-4 )
課本說到:毫無疑問的,『微積分基本定理』是微積分中最重要的結果, 同時也是人類的科學發展中最偉大的發現之一。因此, 『微積分基本定理』當然是這次期中考的一大重點, 一定要考的 !
雖然上課時, 我有證明『微積分基本定理』給同學看, 不過, 我從來沒有想過要考證明。在考卷上, 我們把整個『微積分基本定理』都擺上去, 同學只要說說『微積分基本定理』最主要陳述的概念是什麼即可, 答案也都在課本中。
第 10 題 ( § 4-5 )
§ 4-5 的『變數變換法』所要處理的函數, 就如同上學期在介紹微分時, 在 § 2-5 我們用『連鎖法則』處理的函數一樣, 都是針對§ 1-2 的『合成函數』所提出的微分與積分之技巧。
只要能看出題目中該如何將函數中的變數用 u = g(x) 代換掉, 原本有些複雜的合成函數積分問題, 就會變成單純函數的積分問題。
第 10 題我們一樣只是考同學例題 1, 只不過把 § 4-5 的兩個重點合成在一題之中, 變成先用變數變換法求 不定積分, 然後再將 a, b 代入求 定積分。
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