§ 4-4 微積分基本定理

微積分基本定理 The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 這個名字的由來，是因為它建立起微積分二個主要部份之間的關係。(It establishes a connection between the two branches of calculus—differential calculus and integral calculus.)

微分的和積分的概念，一個是為了解決切線問題(tangent problem)，另一個則是來自於面積問題(area problem)，看起來似乎是完全無關的。

牛頓在劍橋大學的老師 Isaac Barrow(1630-1677) 發現，其實微分和積分是互逆的過程。

　　
　　　　　Isaac Barrow(1630-1677)

二者間精確的關係則是由牛頓和萊布尼茲分別建立，也就是微積分基本定理的主要內容。

定理的第一部份處理的是以積分形式定義的函數。

　　　

　　如果 f 是正的， g(x) 可以看做是 f 從 a 到 x 圍出的面積，而 x 可以是 a 和 b 間的任何數。


例 1 :

　　　
　
　　　　

　　　
　
　
　
用上述的值可以大略畫出 g 的圖形( Figure 4 )。

　　　

在 t <> 3 時， f(t) 是負的，所以 g 是遞減的。

例 2:

請同學思考: 例 2 的目的是甚麼? 找出 g(x) 然後計算 g'(x)
如果結果是 g' = f,
那麼同學可以明白作者想要表達什麼了嗎?

例 2 中的 g 滿足 g'(x) = x² , 也就是說積分定義出來的函數是被積函數的反導數。

請同學回到例 1 觀察 Figure 4, 檢查察一些比較容易觀察的點, 她的切線斜率是否就是 Figure 2 的函數值?

接下來作者就要開始認真討論: 是否某一個函數, 用積分定義出來的函數, 就是該函數的導函數?

要知道一般的情形為什麼是對的，我們先考慮滿足 f(x) ≥ 0 的函數。因為函數是正的, 所以用積分定義出來的函數, 基本上就是代表函數從 a 到 x 所圍起來的面積, 如 Figure 1。

　　　

如果 g(x) 所代表的是上面藍色區域的面積大小, 那麼下圖 (Figure 5) 中的藍色區域的面積, 就是

　g(x+h) - g(x)


　　　

為了要用定義來計算 g'(x), 先假定 h > 0,
這時 g(x + h) – g(x) 會是面積的差,
也就是 f 圖形下方從 x 到 x + h 的面積
(Figure 5 中的陰影部份)。

我們可以用長方形來大約估算藍色區域的面積。長方形的面積是底 h 乘上高 f(x), 所以

　g(x+h) - g(x) ≈ h f(x)

將兩邊同除以 h, ( h>0 )

　g(x+h) - g(x) ／ h ≈ f(x)

當 h 很小很小時, 換句話說, h → 0 時, 上面的式子兩邊都取極限 h → 0,

左邊的式子基本上就是 g' 微分的定義,

因此可以得到 g' (x) ≈ f(x)

所以, 我們可以猜測 g' (x) = f(x),

且這對一般的 f(x), (不一定要限制 f(x) ≥ 0 ) 都是正確的 !

微積分基本定理, 第一部分
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1 (FTC1)