Note: 本學期各項成績一覽

2010/01/21　2:30 AM 訊息:
1. 總成績調整原則確立:
　a. 初算成績 60 分以上者, 每位同學加 5 分。
　b. 初算成績 50-59 分者, 期末考達 55 分者, 優先調整至 60 分。
　c. 初算成績 55-59 分者, 無條件調整至 60 分。
2. 調整後總成績
3. 修課同學 69 位, 不及格同學共 25 位。


2010/01/21　1:12 AM 訊息:

1. 占總成績之 20% 的 平時成績 公布
2. 加上 平時成績 之 總成績初算 公布。
3. 成績公布改成以學號末四碼方式公布

2010/1/17　19:20 PM 訊息:

目前期末考考卷已經全部改完 ,
各題的成績在這邊看。

期末考成績分布圖



需要看考卷的同學, 請於 1/21(四)下午 2:00 到辦公室 S634 看。
有人需要看考卷嗎? 需要的同學請在此回應!
如果沒有人有此需要, 我就可以不用跑一趟學校!!

三次小考成績在這邊看！

作業成績 = 第一次作業 (75%) + 第二次作業成績 (25%)

除了平時成績之外的總成績(80%)... 這個部分不會再更改了!
再加上平時成績(20%) 就是你本學期的成績了!
接下來, 就要看看誰平時有乖乖來上課, 認真聽講了... :)

另外, 右邊欄的投票, 表示一下意見吧!
　

Week 17: 極大值和極小值

平時成績

§ 3-1 極大和極小值

微積分最重要的應用之一是 最佳化問題。

1. 同樣的容量, 可以得到最低成本的罐頭形狀是什麼?

2. 什麼是太空船的最大加速度?

3. 人在咳嗽時, 可以將空氣從體內以最快的速度釋放出來的氣管大小是多少?

4. 當你在藝廊參觀時, 要站在離畫多遠處才可以得到最好的觀賞視野?

定義

如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x),
我們就說 f 在 c 處有 絕對極大值(absolute maximum) 或 全域極大值(global maximum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極大值 (maximum value)。

同樣的, 如果函數 f 對任意定義域 D 中的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x),
就說 f 在 c 處有 絕對極小值(absolute minimum) 或 全域極小值(global minimum),
f (c) 就是 f 在 D 的 極小值(minimum value)。

上述的最大和最小值稱為 f 的 極值(extreme values)。



定義

如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≧ f (x)
[ 也就是說在某一包含 c 的開區間中的 x 都滿足 f(c) ≧ f (x) ],
我們就說 f 在 c 點有區域極大值(local maximum) 或 相對極大值(relative maximum)。

同樣的, 如果函數 f 對 c 附近的 x 都滿足 f (c) ≦ f (x)，就說 f 在 c 點有 區域極小值(local minimum)。







極值定理

如果函數 f 在一閉區間 [a, b] 中連續, 則在 [a, b] 中一定存在二個值 c 和 d 使得 f (c) 是絕對極大值而 f (d) 是絕對極小值。




　

　


費馬定理

如果 f 在 c 點有區域極值而且 f '(c) 存在, 則 f '(c) = 0





定義

如果函數 f 在 c 的導數 f ’ (c)=0 或 f ’ (c)不存在,
我們就稱 c 是 f 的一個 臨界點(critical point)。



若 f 在 c 點有區域極值，則 c 是 f 的一個臨界點。

閉區間法

如果想要求出連續函數 f 在閉區間 [a, b] 絕對極值, 可以依下列步驟:
1. 求 f 在 (a, b) 的臨界點上的函數值。
2. 求 f 在端點的值。
3. 步驟 1 和 2 得到的值中，最大的就是絕對極大值; 最小的就是絕對極小值。

Week 16: 線性近似與微分算子

1. 課程公告: 期末考範圍 Ch2 ~ Ch3-1。

2. 本週第一節課舉行小考, 範圍 § 2-1 ~ 7

3. § 2-8 線性近似與微分算子

從標題看, §2-8 有兩個主題要討論: 線性近似與微分算子。

　a. 線性近似

所謂的 線性近似 指的就是當我們要求一個函數在某一點附近的函數值的時候, 有些時候直接代入即可, 有些時候卻不是那麼容易計算出來, 因此, 我們思考: 是否可以在那個點的附近找到一個新的函數, 這個函數和我們要求的函數很像, 很接近, 如果可以找到這樣的函數, 我們直接求這個函數在該點附近的函數值, 應該也是八九不離十啦。



這是 § 2-1 的圖 4, 從這個圖中, 我們的觀察有一個結論: ( 是什麼呢?? )

其實, 上圖中的直線, 其實就是我們要找的新函數, 換句話說, 這個直線就是原先的函數在 x = 1 附近的近似函數。( 這條直線是什麼線呢 ? )



這條直線的方程式該如何求呢?
(提示: 如果你會求這條直線的斜率, 也知道這條直線通過哪一點, 應該就可以求出其方程式了。)

　b. 微分元 (differential)

線性近似背後的內在意義有時可以用 微分元 的概念描述。

若 y = f(x)，其中 f 是可微函數，則存在一個稱為 微分元 (differential) 的 自變數 dx ;
也就是說 dx 可以是任意給定的實數。而另一個微分元 dy 則是由 dx 所決定:

　　　dy = f '(x) dx

所以 dy 是一個 應變數；它是由 x 和 dx 所決定的。
若 dx 和 x 的值都給定了，dy 的值也就自然被決定了。

從圖 5 中, 我們可以觀察到微分元的幾何意義。
令 P(x, f(x)) 和 Q(x + ∆x, f (x + ∆x)) 位於 f 的圖形上並且取 dx = ∆x 。
相對應的 y 的變化量為 ∆y = f(x + ∆x) – f(x)



由圖 5 很容易看出, 在 Δx 越小時, 線性近似值 Δy 會越接近 dy 值。
　

Week 15: 相對變化率

1. 課程公告: 下週二第一節課舉行小考, 範圍 § 2-1 ~ § 2-8。

2. 本週進度:

§ 2-7 相對變化率

如果我們將一氣球充氣，它的體積和半徑都會增加，而它們的增加率之間互有關聯。實際上體積的增加率會比半徑的增加率容易求得。

在牽涉到相對變化率的問題中，通常是想要利用某個量的變化率來求出另一個量的變化率 (有可能容易算很多)。

作法是先找到描述二個量之關係的方程式，然後利用 連鎖法則 將方程式的等號二邊都對 時間 作微分。

例 1 : 將一圓形氣球以每秒100立方公分的速度充氣。氣球在直徑為50公分時半徑增加的速度為何？

我們先寫出下列條件：

　　已知：氣球內空氣體積的增加率為 100 立方公分/秒
　　未知：半徑在氣球直徑為 50 公分時的增加率

為了要用數學來描述這個問題，我們必須要引入一些變數：

　令 V 為氣球的體積，而 r 是氣球的半徑

關鍵在於 變化率 其實就是 導數。

在這個問題中，體積和半徑都是時間 t 的函數。

體積相對於時間的變化率為 dV/dt，而半徑相對於時間的變化率為 dr/dt。

所以我們可以把上述的條件重寫成：

　　已知： dV/dt = 100 立方公分/秒
　　未知：當 r = 25 公分時的 dr/dt

為了找到 dV/dt和 dr/dt 之間的關係，我們首先用球體的體積公式將 V 和 r 關聯在一起:

　　V = ( 4 /3 ) π r^3

將方程式的等號二邊同時對 t 微分，這樣就能利用已知的條件。

微分的過程需要用到連鎖法則: (Why? 請同學思考)

　dV/dt = dV/dr * dr/dt = 4 π r^2 dr/dt

接著解出未知的量:

　dr/dt = ( 1/4πr^2 ) * dV/dt

如果將 r = 25 和 dV/dt = 100 代入方程式內就會得到

　dr/dt = ( 1/ 4 π 25^2 ) * 100 = 1/ 25π

所以氣球半徑的增加率為 1/25π 公分/秒。

Week 14: 隱函數的微分

在此之前, 我們所處理的函數都是可以把其中一個變數, 清楚地用另一個變數來表示, 例如:

　　y = x sinx

然而, 有些函數是被包含 x 和 y 的方程式隱含地定義出來的。例如:

　　x^2 + y^2 = 25



上述的式子中隱含地表示了兩個函數, 分別是 Fig. 1 (b) 的上半圓 f(x) 和 Fig. 1 (c) 的下半圓 g(x)。

課本的另外一個例子:

　　x^3 + y^3 = 6xy


　
其實, 在這個圖形中, 分別隱含地表示了三個函數, 分別如 Fig. 3 所表示。


　
本節 § 2-6 隱微分 所要討論的主題就是該如何求得這類隱函數的導函數。

例 1: (p. 2-51)
　　(a) 若 x^2 + y^2 = 25 , 求 dy/dx。
　　(b) 求圓 x^2 + y^2 = 25 在點 ( 3, 4 ) 的切線方程式。

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。
　　　(2) 要把 y 看做是 x 的函數, 因此, 對 y 微分時, 必須要用連鎖法則才行。

　其實, 也可以用 § 2-1 的方法, 先確定 點 ( 3, 4) 是屬於上述兩個隱含的函數中的哪一個? 再用所屬的那個函數去求導函數(會用到 § 2-5 的連鎖法則) , 一樣可以求出其切線方程式, 答案都是一樣的。 (廢話!)

例 2: (p. 2-52)
　　(a) 已知 x^3 + y^3 = 6xy, 求 y'。
　　(b) 求笛卡兒葉形線 x^3 + y^3 = 6xy 在點 ( 3, 3 ) 的切線方程式。
　　(c) 在第一象限中的哪一點有水平切線 ?

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。
　　　(2) 要把 y 看做是 x 的函數, 因此, 對 y 微分時, 必須要用連鎖法則才行。
　　　(3) 等式右邊的 xy 要用到乘法律。
　

　
　
　
例 3: (p. 2-53)
　　已知 , 求 y'。

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。

　注意: 對左式微分要用到連鎖法則,
　
　　　F(x) = f。g (x) = f (g(x)) = sin (x+y)

　所以,
　　　　f (x) = sin (x),　f ' (x) = cos(x)
　　　　g(x) = x+y, 　　g ' (x) = 1 + 1 * y'

　　　　F ' (x) = cos (x+y) * g'(x) = cos (x+y) * (1+y')

　　　對右式微分要用到乘法律和連鎖法則,

　　　G(x) = y^2 cos x
　
　　　G '(x) = 2yy' cos x + y^2 (-sin x)
　
　因此, cos (x+y) * (1+y') = 2yy' cos x + y^2 (-sin x)

　移項,

　　cos (x+y) + y^2 sin x = (2y cos x) y' - cos(x+y) y'

　所以,

　　y' = ( cos (x+y) + y^2 sin x ) / ( 2y cos x - cos(x+y) )

　　
　


例 4: (p. 2-53)
　　已知 x^4 + y^4 = 16, 求 y" = ?
　

　

Week 13: 微分公式練習

這個星期, 我們在課堂上請同學上台演練課本的習題 § 2-3 到 § 2-5 的部分, 凡是上台演練習題的同學, 我都會在平時成績給予加分！

本週作業: 下週(12/15)實習課教繳交, 不得遲交！

§ 2-3 微分基本公式

　題目: 20 ~ 24

§ 2-4 乘法和除法公式

　題目: 10, 12, 14, 16, 18

§ 2-5 連鎖法則

　題目: 1 ~ 5
　

Week 12: 微分公式

基本上, 從 § 2-3 到 § 2-5 都是在告訴我們, 有些函數的導數, 其實不用從最基本的定義開始計算, 這些函數的導數已經有數學家幫我們導出各種公式, 我們只要套入公式, 就可以很快地求得答案。所以, 如何套入公式, 就變成大家要去熟悉的重點。

如何熟悉呢? 多做一些題目, 自然就熟悉了!

§ 2-3 微分基本公式

§ 2-4 乘法和除法公式

§ 2-5 連鎖法則