Week 15: 相對變化率

1. 課程公告: 下週二第一節課舉行小考, 範圍 § 2-1 ~ § 2-8。

2. 本週進度:

§ 2-7 相對變化率

如果我們將一氣球充氣，它的體積和半徑都會增加，而它們的增加率之間互有關聯。實際上體積的增加率會比半徑的增加率容易求得。

在牽涉到相對變化率的問題中，通常是想要利用某個量的變化率來求出另一個量的變化率 (有可能容易算很多)。

作法是先找到描述二個量之關係的方程式，然後利用 連鎖法則 將方程式的等號二邊都對 時間 作微分。

例 1 : 將一圓形氣球以每秒100立方公分的速度充氣。氣球在直徑為50公分時半徑增加的速度為何？

我們先寫出下列條件：

　　已知：氣球內空氣體積的增加率為 100 立方公分/秒
　　未知：半徑在氣球直徑為 50 公分時的增加率

為了要用數學來描述這個問題，我們必須要引入一些變數：

　令 V 為氣球的體積，而 r 是氣球的半徑

關鍵在於 變化率 其實就是 導數。

在這個問題中，體積和半徑都是時間 t 的函數。

體積相對於時間的變化率為 dV/dt，而半徑相對於時間的變化率為 dr/dt。

所以我們可以把上述的條件重寫成：

　　已知： dV/dt = 100 立方公分/秒
　　未知：當 r = 25 公分時的 dr/dt

為了找到 dV/dt和 dr/dt 之間的關係，我們首先用球體的體積公式將 V 和 r 關聯在一起:

　　V = ( 4 /3 ) π r^3

將方程式的等號二邊同時對 t 微分，這樣就能利用已知的條件。

微分的過程需要用到連鎖法則: (Why? 請同學思考)

　dV/dt = dV/dr * dr/dt = 4 π r^2 dr/dt

接著解出未知的量:

　dr/dt = ( 1/4πr^2 ) * dV/dt

如果將 r = 25 和 dV/dt = 100 代入方程式內就會得到

　dr/dt = ( 1/ 4 π 25^2 ) * 100 = 1/ 25π

所以氣球半徑的增加率為 1/25π 公分/秒。