Week 16: 線性近似與微分算子

1. 課程公告: 期末考範圍 Ch2 ~ Ch3-1。

2. 本週第一節課舉行小考, 範圍 § 2-1 ~ 7

3. § 2-8 線性近似與微分算子

從標題看, §2-8 有兩個主題要討論: 線性近似與微分算子。

　a. 線性近似

所謂的 線性近似 指的就是當我們要求一個函數在某一點附近的函數值的時候, 有些時候直接代入即可, 有些時候卻不是那麼容易計算出來, 因此, 我們思考: 是否可以在那個點的附近找到一個新的函數, 這個函數和我們要求的函數很像, 很接近, 如果可以找到這樣的函數, 我們直接求這個函數在該點附近的函數值, 應該也是八九不離十啦。



這是 § 2-1 的圖 4, 從這個圖中, 我們的觀察有一個結論: ( 是什麼呢?? )

其實, 上圖中的直線, 其實就是我們要找的新函數, 換句話說, 這個直線就是原先的函數在 x = 1 附近的近似函數。( 這條直線是什麼線呢 ? )



這條直線的方程式該如何求呢?
(提示: 如果你會求這條直線的斜率, 也知道這條直線通過哪一點, 應該就可以求出其方程式了。)

　b. 微分元 (differential)

線性近似背後的內在意義有時可以用 微分元 的概念描述。

若 y = f(x)，其中 f 是可微函數，則存在一個稱為 微分元 (differential) 的 自變數 dx ;
也就是說 dx 可以是任意給定的實數。而另一個微分元 dy 則是由 dx 所決定:

　　　dy = f '(x) dx

所以 dy 是一個 應變數；它是由 x 和 dx 所決定的。
若 dx 和 x 的值都給定了，dy 的值也就自然被決定了。

從圖 5 中, 我們可以觀察到微分元的幾何意義。
令 P(x, f(x)) 和 Q(x + ∆x, f (x + ∆x)) 位於 f 的圖形上並且取 dx = ∆x 。
相對應的 y 的變化量為 ∆y = f(x + ∆x) – f(x)



由圖 5 很容易看出, 在 Δx 越小時, 線性近似值 Δy 會越接近 dy 值。