Week 14: 隱函數的微分

在此之前, 我們所處理的函數都是可以把其中一個變數, 清楚地用另一個變數來表示, 例如:

　　y = x sinx

然而, 有些函數是被包含 x 和 y 的方程式隱含地定義出來的。例如:

　　x^2 + y^2 = 25



上述的式子中隱含地表示了兩個函數, 分別是 Fig. 1 (b) 的上半圓 f(x) 和 Fig. 1 (c) 的下半圓 g(x)。

課本的另外一個例子:

　　x^3 + y^3 = 6xy


　
其實, 在這個圖形中, 分別隱含地表示了三個函數, 分別如 Fig. 3 所表示。


　
本節 § 2-6 隱微分 所要討論的主題就是該如何求得這類隱函數的導函數。

例 1: (p. 2-51)
　　(a) 若 x^2 + y^2 = 25 , 求 dy/dx。
　　(b) 求圓 x^2 + y^2 = 25 在點 ( 3, 4 ) 的切線方程式。

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。
　　　(2) 要把 y 看做是 x 的函數, 因此, 對 y 微分時, 必須要用連鎖法則才行。

　其實, 也可以用 § 2-1 的方法, 先確定 點 ( 3, 4) 是屬於上述兩個隱含的函數中的哪一個? 再用所屬的那個函數去求導函數(會用到 § 2-5 的連鎖法則) , 一樣可以求出其切線方程式, 答案都是一樣的。 (廢話!)

例 2: (p. 2-52)
　　(a) 已知 x^3 + y^3 = 6xy, 求 y'。
　　(b) 求笛卡兒葉形線 x^3 + y^3 = 6xy 在點 ( 3, 3 ) 的切線方程式。
　　(c) 在第一象限中的哪一點有水平切線 ?

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。
　　　(2) 要把 y 看做是 x 的函數, 因此, 對 y 微分時, 必須要用連鎖法則才行。
　　　(3) 等式右邊的 xy 要用到乘法律。
　

　
　
　
例 3: (p. 2-53)
　　已知 , 求 y'。

　步驟:
　　　(1) 兩邊同時對 x 微分。

　注意: 對左式微分要用到連鎖法則,
　
　　　F(x) = f。g (x) = f (g(x)) = sin (x+y)

　所以,
　　　　f (x) = sin (x),　f ' (x) = cos(x)
　　　　g(x) = x+y, 　　g ' (x) = 1 + 1 * y'

　　　　F ' (x) = cos (x+y) * g'(x) = cos (x+y) * (1+y')

　　　對右式微分要用到乘法律和連鎖法則,

　　　G(x) = y^2 cos x
　
　　　G '(x) = 2yy' cos x + y^2 (-sin x)
　
　因此, cos (x+y) * (1+y') = 2yy' cos x + y^2 (-sin x)

　移項,

　　cos (x+y) + y^2 sin x = (2y cos x) y' - cos(x+y) y'

　所以,

　　y' = ( cos (x+y) + y^2 sin x ) / ( 2y cos x - cos(x+y) )

　　
　


例 4: (p. 2-53)
　　已知 x^4 + y^4 = 16, 求 y" = ?