CALCULUS: 4月 2010

2010年4月21日星期三

　假定我們想要分析下列函數:

　F(x) = ln x / (x-1)

雖然 F 在 x = 1 沒有定義, 可是我們仍然對 F 在 1 附近的性質有興趣, 特別是我們想要知道 F 在 x 趨近於1 的極限值是多少?

　我們回想 § 1-4 節中的關於極限的運算法則, p. 1-37 除法律:極限的商等於商的極限(前提是分母的極限不為 0 )。因此, 求 F 在 x = 1 的極限值是不可以使用除法律的。

　雖然 F 在 x = 1 的極限值式存在的, 但並不是那麼地明顯好算! 因為分子和分母都是趨近於 0, 可是 0/0 並沒有定義。一般而言...

1. 相除的不定形

　a. 0/0 不定形

　b. ∞/∞ 不定形

2. 羅比達法則 (l'Hospital Law)

　羅比達法則是以法國貴族 Marquis de l'Hospital (1661-1704) 來命名的, 但是發現的人其實是數學家 John Bernoulli (1667-1748)。

　註 1: 羅比達法則的意思是說, 函數的商的極限會等於他們的導數的商的極限, 但是這只在函數滿足要求的條件下才成立。所以在用羅比達法則之前, 一定要先確認 f 和 g 的極限滿足要求。

　註 2: 羅比達法則對單邊極限或者是極限是 -∞ 的情形也成立。

3. 乘積的不定形 (0 ×∞ 不定形)

4. 相減的不定形 ( ∞-∞ 不定形)

5. 冪函數的不定形

　a. Type 0^0

　b. Type ∞^0

　c. Type 1^∞

延伸閱讀:

1. 維基百科: 數學家 John Bernoulli

　　

§ 5-4 一般的指數和對數函數

在 § 5-2 與 § 5-3 , 我們分別討論過自然對數函數和自然指數函數, 這一節我們要用自然指數和對數來研究以其他正數 a 為底的指數和對數函數。

1. 一般的指數函數

　函數 f(x) = a^x 稱為以 a 為底的指數函數。

2. 指數律

3. 指數函數的微分

4. 指數函數的圖形

　　

　　由圖 3 可知, 對於較大的 a , 指數函數在 x > 0 的部分上升速度也會較快。

　　

　　圖 4 和圖 5 則是比較 y = 2^x 和 y = x² 的性質。

　　

　　兩個函數的圖形一共相交 3 次,

　　

　　但最後指數曲線 y = 2^x 遞增的速度比拋物線 y = x² 快多了。

5. 指數函數的積分

6. 一般的對數函數

　當 a 不等於 1 的正數時, f(x)= a^x 是一個一對一函數。它的反函數稱為以 a 為底的對數函數, 記為 log_a 。

7. 對數函數的圖形

　　

　　圖 8 則是許多不同底 a 的對數函數的圖形。

　　

8. 換底公式

9. e 的極限型式定義

　

2010年4月14日星期三

Week 8: 自然指數函數與自然對數函數

1. § 5-2 自然對數函數 (natural logarithmic function)

2. § 5-3 自然指數函數
　

2010年4月13日星期二

§ 5-3 自然指數函數

1. 定義自然指數函數是自然對數函數的反函數

　　　exp(x) = y　　<=>　　ln y = x

　　消去方程為

　　　exp(ln x) = x　和　ln(exp x) = x

　　由此可得

　　　因為 ln 1 = 0 , 所以 exp (0) = 1
　　　因為 ln e = 1 , 所以 exp (1) = e
　
2. 函數 y = exp x 的圖形則是把 y = ln x 的圖形對 y = x 做鏡射得到 Figure 1

　　

　
2. e^x = exp(x)

3. 例 1 : 若 ln x = 5 , 求 x。

　例 2 : 解方程式 e^(5-3x) = 10。
　

§ 5-2 自然對數函數 (natural logarithmic function)

自然對數函數 (natural logarithmic function)

1. 定義

　　

2. 自然對數函數的微分律

　　d/dx (ln x) = 1/ x

3. 對數律

　　若 x 和 y 是正數而 r 是有理數, 則

　　(1) ln (xy) = ln x + ln y
　　(2) ln (x/y) = ln x - ln y
　　(3) ln (x^r) = r ln x

4. 圖形

　　為了要畫 y = ln x 的圖形, 我們要先討論
　　(1) 當 x 趨近無限大時, ln x 的值為何?
　　(2) 當 x 趨近 0+ 時, ln x 的值為何?

　　

5. 定義: e 是滿足 ln e = 1 的數。

　　

　上圖是由電腦畫出 y = ln x 與 y = 1 的圖形, 然後用交點的 x 座標來估計 e 值。將圖放大會得到近似值

　　e ~ 2.718....

　e 是一個無理數, 其小數表示法是不會循環的。
　
6. 例 5: 微分 y = ln (x^3 + 1)。
　
　例 6: 求 d/dx ln (sin x)。
　
　例 7: 微分 f(x) = (ln x)^(1/2)。
　
　例 8: 求 d/dx ln (x+1)/(x-2)^(1/2)。
　
　例 9: 求 f(x) = ln |x| 的導數。
　
7. 重要式子 ( 由例 9 的結果延伸出來 )

　d/dx ln |x| = 1/x
　
　