§ 5-8 不定形及羅比達法則

　假定我們想要分析下列函數:

　F(x) = ln x / (x-1)

雖然 F 在 x = 1 沒有定義, 可是我們仍然對 F 在 1 附近的性質有興趣, 特別是我們想要知道 F 在 x 趨近於1 的極限值是多少?

　我們回想 § 1-4 節中的關於極限的運算法則, p. 1-37 除法律:極限的商等於商的極限(前提是分母的極限不為 0 )。因此, 求 F 在 x = 1 的極限值是不可以使用除法律的。

　雖然 F 在 x = 1 的極限值式存在的, 但並不是那麼地明顯好算! 因為分子和分母都是趨近於 0, 可是 0/0 並沒有定義。一般而言...

1. 相除的不定形

　a. 0/0 不定形

　b. ∞/∞ 不定形

2. 羅比達法則 (l'Hospital Law)

　羅比達法則是以法國貴族 Marquis de l'Hospital (1661-1704) 來命名的, 但是發現的人其實是數學家 John Bernoulli (1667-1748)。

　註 1: 羅比達法則的意思是說, 函數的商的極限會等於他們的導數的商的極限, 但是這只在函數滿足要求的條件下才成立。所以在用羅比達法則之前, 一定要先確認 f 和 g 的極限滿足要求。

　註 2: 羅比達法則對單邊極限或者是極限是 -∞ 的情形也成立。

3. 乘積的不定形 (0 ×∞ 不定形)

4. 相減的不定形 ( ∞-∞ 不定形)

5. 冪函數的不定形

　a. Type 0^0

　b. Type ∞^0

　c. Type 1^∞



延伸閱讀:

1. 維基百科: 數學家 John Bernoulli