甲班:
a. 第一堂課 13:50 - 14:40 舉行小考, 請勿遲到。
b. § 4-5 變數變換法
乙班:
a. 第一堂課 9:10 - 10:00 舉行小考, 請勿遲到。
b. § 4-4 微積分基本定理
c. § 4-5 變數變換法 (星期一晚上 6:00 - 8:40 加上三節課!)
2011年3月22日 星期二
2010S 指定閱讀
第一本: 第56號教室的奇蹟 (2011/03/13 繳交截止)
第二本: (2011/04/10 繳交截止)
甲班: 漫畫微積分入門
乙班: 蘋果橘子經濟學
第三本: 阿基米德寶典 失落的羊皮書 (2011/05/08 繳交截止)
第四本: 世界第一簡單 傅立葉轉換 (2011/06/12 繳交截止)
第二本: (2011/04/10 繳交截止)
甲班: 漫畫微積分入門
乙班: 蘋果橘子經濟學
第三本: 阿基米德寶典 失落的羊皮書 (2011/05/08 繳交截止)
第四本: 世界第一簡單 傅立葉轉換 (2011/06/12 繳交截止)
2011年3月16日 星期三
Week 6: 微積分基本定理
期中考範圍公布: 第四章 積分
甲班:
§ 4-4 微積分基本定理
§ 4-4 習題: 1, 6, 10, 12, 15
乙班:
§ 4-3 定積分的計算
1. 取值定理
2. 取值定理的證明
3. 不定積分
4. 應用:
淨變化量定理
§ 4-3 習題: 2, 6, 21, 26, 30
甲班:
§ 4-4 微積分基本定理
§ 4-4 習題: 1, 6, 10, 12, 15
乙班:
§ 4-3 定積分的計算
1. 取值定理
2. 取值定理的證明
3. 不定積分
4. 應用:
淨變化量定理
§ 4-3 習題: 2, 6, 21, 26, 30
§ 4-4 微積分基本定理
微積分基本定理 The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 這個名字的由來,是因為它建立起微積分二個主要部份之間的關係。(It establishes a connection between the two branches of calculus—differential calculus and integral calculus.)
微分的和積分的概念,一個是為了解決切線問題(tangent problem),另一個則是來自於面積問題(area problem),看起來似乎是完全無關的。
牛頓在劍橋大學的老師 Isaac Barrow(1630-1677) 發現,其實微分和積分是互逆的過程。
Isaac Barrow(1630-1677)
二者間精確的關係則是由牛頓和萊布尼茲分別建立,也就是微積分基本定理的主要內容。
定理的第一部份處理的是以積分形式定義的函數。
如果 f 是正的, g(x) 可以看做是 f 從 a 到 x 圍出的面積,而 x 可以是 a 和 b 間的任何數。
例 1 :
用上述的值可以大略畫出 g 的圖形( Figure 4 )。
在 t <> 3 時, f(t) 是負的,所以 g 是遞減的。
例 2:
例 2 中的 g 滿足 g'(x) = x² , 也就是說積分定義出來的函數是被積函數的反導數。
接下來作者就要開始認真討論: 是否某一個函數, 用積分定義出來的函數, 就是該函數的導函數?
要知道一般的情形為什麼是對的,我們先考慮滿足 f(x) ≥ 0 的函數。因為函數是正的, 所以用積分定義出來的函數, 基本上就是代表函數從 a 到 x 所圍起來的面積, 如 Figure 1。
如果 g(x) 所代表的是上面藍色區域的面積大小, 那麼下圖 (Figure 5) 中的藍色區域的面積, 就是
g(x+h) - g(x)
g(x+h) - g(x) ≈ h f(x)
將兩邊同除以 h, ( h>0 )
g(x+h) - g(x) / h ≈ f(x)
當 h 很小很小時, 換句話說, h → 0 時, 上面的式子兩邊都取極限 h → 0,
左邊的式子基本上就是 g' 微分的定義,
因此可以得到 g' (x) ≈ f(x)
所以, 我們可以猜測 g' (x) = f(x),
且這對一般的 f(x), (不一定要限制 f(x) ≥ 0 ) 都是正確的 !
微積分基本定理, 第一部分
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1 (FTC1)
微分的和積分的概念,一個是為了解決切線問題(tangent problem),另一個則是來自於面積問題(area problem),看起來似乎是完全無關的。
牛頓在劍橋大學的老師 Isaac Barrow(1630-1677) 發現,其實微分和積分是互逆的過程。
Isaac Barrow(1630-1677)
二者間精確的關係則是由牛頓和萊布尼茲分別建立,也就是微積分基本定理的主要內容。
定理的第一部份處理的是以積分形式定義的函數。
如果 f 是正的, g(x) 可以看做是 f 從 a 到 x 圍出的面積,而 x 可以是 a 和 b 間的任何數。
例 1 :
用上述的值可以大略畫出 g 的圖形( Figure 4 )。
在 t <> 3 時, f(t) 是負的,所以 g 是遞減的。
例 2:
請同學思考: 例 2 的目的是甚麼? 找出 g(x) 然後計算 g'(x)
如果結果是 g' = f,
那麼同學可以明白作者想要表達什麼了嗎?
例 2 中的 g 滿足 g'(x) = x² , 也就是說積分定義出來的函數是被積函數的反導數。
請同學回到例 1 觀察 Figure 4, 檢查察一些比較容易觀察的點, 她的切線斜率是否就是 Figure 2 的函數值?
接下來作者就要開始認真討論: 是否某一個函數, 用積分定義出來的函數, 就是該函數的導函數?
要知道一般的情形為什麼是對的,我們先考慮滿足 f(x) ≥ 0 的函數。因為函數是正的, 所以用積分定義出來的函數, 基本上就是代表函數從 a 到 x 所圍起來的面積, 如 Figure 1。
如果 g(x) 所代表的是上面藍色區域的面積大小, 那麼下圖 (Figure 5) 中的藍色區域的面積, 就是
g(x+h) - g(x)
為了要用定義來計算 g'(x), 先假定 h > 0,我們可以用長方形來大約估算藍色區域的面積。長方形的面積是底 h 乘上高 f(x), 所以
這時 g(x + h) – g(x) 會是面積的差,
也就是 f 圖形下方從 x 到 x + h 的面積
(Figure 5 中的陰影部份)。
g(x+h) - g(x) ≈ h f(x)
將兩邊同除以 h, ( h>0 )
g(x+h) - g(x) / h ≈ f(x)
當 h 很小很小時, 換句話說, h → 0 時, 上面的式子兩邊都取極限 h → 0,
左邊的式子基本上就是 g' 微分的定義,
因此可以得到 g' (x) ≈ f(x)
所以, 我們可以猜測 g' (x) = f(x),
且這對一般的 f(x), (不一定要限制 f(x) ≥ 0 ) 都是正確的 !
微積分基本定理, 第一部分
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1 (FTC1)
2011年3月15日 星期二
訂閱:
文章 (Atom)