§ 6-1 分部積分(Integration by Parts)

　每一個微分法則, 都有一個相對應的積分法則 (Every differentiation rule has a corresponding rule.)。例如: 積分中的變數變換(substitution rule), 對應的就是微分中的連鎖法則(chain rule)。對應於微分乘法律(product rule for differentiation)的積分技巧就是分部積分(integration by parts)。

　微分乘法律:

　　　[f(x) g(x)]' = f(x) g'(x) + f '(x) g(x)

　將二邊同時積分,

　　　f(x) g(x) = ∫ [ f(x) g'(x) + f '(x) g(x) ] dx
　　　　　　　=∫ f(x) g'(x) dx + ∫ f '(x) g(x) dx

　移項就會得出 分部積分的公式(formula for integration by parts):

　　　∫ f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ∫ f '(x) g(x) dx
　
　如果, 令 u = f(x), v=g(x),

　　將 u 對 x 微分, du/dx = f '(x), 所以 du = f '(x) dx
　　將 v 對 x 微分, dv/dx = g'(x), 所以 dv = g'(x) dx

　因此, 用變數變換會得到另一個比較好記的分部積分公式:

　　　∫ u dv = u v - ∫ v du
　
　例 1: 求 ∫ x sin x dx

　註: 我們的目的是把複雜的積分變成較簡單的積分。例如在 例 1 中, 開始時是 ∫ x sin x dx, 後來可以寫成只有積分 ∫ cos x dx 的形式。

　一般來說, 再決定 u 和 dv 時, u = f(x) 的導數會變簡單 (至少不會變複雜), 而 dv = g'(x)dx 的積分要先知道。
　
　例 2: 求 ∫ ln x dx

　例 3: 求 ∫ t² e^t dt

　　這個例子告訴我們, 可以重複使用分部積分的技巧, 讓原來的積分越來越簡單。

　例 4: 求 ∫ e^x sinx dx

　　這個例子很有趣, 用到 2 個觀念,

　　　a) e^x 微分還是不變,
　　　b) 對 sin x 積分兩次, 會回到 sin x 的形式,

　　最後, 神奇的移項後, 竟可以得到答案。

　同時使用 分部積分 和 取值定理 ( § 4-3 定積分的計算, p. 4-26 ), 也可以算定積分。