CALCULUS: Week 5: 定積分

§ 4-2 定積分

　　

　　這種函數的極限可以應用到很多問題上。
　　
　　在更一般的情形中, 函數 f 的值可以是任意數, 不一定要是正的, 每個子區間的長度也不一定要相同。

　a. 黎曼和(Riemann sum)

　　

　　對給定的一個函數 f , 區間的一個分割 P 及每個區間中選取的樣本點, 所有子區間長度與樣本點的函數值的乘積總和。

　　

　　如果考慮 [a,b] 所有可能的分割及樣本點的選取法, 黎曼和在 n 取越來越大時, 得到的極限和面積的定義很像。

　　但是要注意的是, 現在每個子區間的長度不一定一樣, 所以在取極限時, 要確定每個長度 δxi 都要很小, 換句話說, 最大的區間長度 max δxi 要趨近於零。

　　我們稱得到的極限值為 f 從 a 到 b 的定積分(definite integral)。

　b. 定積分的定義
　　
　　若 f 為定義在 [a,b] 上的一個函數, 當極限

　　

　　存在時, 就稱為 f 從 a 到 b 的定積分。
　　這個極限存在時, 我們就說 f 在 [a,b] 是可積的(integrable)。

　　f(x) 為被積函數(integrand)
　　a 和 b 為積分極限(limit of integration),
　　a 為下極限(lower limit), b 為上極限(upper limit)
　　求積分的過程稱為積分(integration)。

　c. 定理
　
　　

　　這邊要提醒同學注意的是: 要分辨得出定義與定理之間的差別。

　　課本 P. 4-16 的第一段話看起來很平常, 其中卻蘊涵了定理之所以存在的目的。

　　在算積分的值時, 定理 4 會比定義 2 簡單多了。

　d. 積分的計算

　　如果要用定理 4 當做定義來算定積分, 就必須要知道怎麼解數列的和。

　　課本 P. 4-17 常用的冪函數的和的公式, 同學務必記熟。

　　課本 P. 4-18 的例 2 建議同學一定要把書蓋起來, 自己推導一遍, 這樣子才會對教科書中所談論的主題有一點感覺。

　　

　　加分習題: 請撰寫一個程式, 計算出例 2 (a) 在不同 n 值的情況下, 所算出來的黎曼和。
　　請於 4 月 1 日愚人節當天下午上課時繳交, 可加總分 2 分。

　　例 3
　
　　

　e. 中點法則
　
　　為了方便計算, 樣本點 xi* 常常取子區間的右端點, 但是如果把它取為子區間的中點, 會得到對積分比較好的估計。

　　上面這段話出現在課本 P. 4-20, 請同學思考:
　　　方便什麼樣的計算?
　　　為什麼會得到必較好的估計?

　f. 定積分的性質
　
　　找出一些積分的性質, 幫助我們簡化積分的計算。

　　